Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14309 / 10338
↖ ↑ ↗
← N 76.717699°
W101.398315°		 ← 140.33 m → N 76.717699°
W101.392822°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
N 76.716437°
W101.398315°		 ← 140.34 m →
19 696 m²		 N 76.716437°
W101.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218345642089844 y=0.157752990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218345642089844 × 216)
    floor (0.218345642089844 × 65536)
    floor (14309.5)     		tx = 14309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157752990722656 × 216)
    floor (0.157752990722656 × 65536)
    floor (10338.5)     		ty = 10338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14309 / 10338 ti = "16/14309/10338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14309/10338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14309 ÷ 216
    14309 ÷ 65536     		x = 0.218338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10338 ÷ 216
    10338 ÷ 65536     		y = 0.157745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.563323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76973446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157745361328125 × 2 - 1) × π
    0.68450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15044931695572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76973446} λ = -1.76973446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15044931695572))-π/2
    2×atan(8.58871658632819)-π/2
    2×1.45488638816767-π/2
    2.90977277633534-1.57079632675     		φ = 1.33897645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76973446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.398315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33897645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.717699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14309 KachelY 10338 -1.76973446 1.33897645 -101.398315 76.717699
    Oben rechts KachelX + 1 14310 KachelY 10338 -1.76963859 1.33897645 -101.392822 76.717699
    Unten links KachelX 14309 KachelY + 1 10339 -1.76973446 1.33895442 -101.398315 76.716437
    Unten rechts KachelX + 1 14310 KachelY + 1 10339 -1.76963859 1.33895442 -101.392822 76.716437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33897645-1.33895442) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33897645-1.33895442) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76973446--1.76963859) × cos(1.33897645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229749097910174 × 6371000     		do = 140.327939172064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76973446--1.76963859) × cos(1.33895442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229770538549539 × 6371000     		du = 140.341034852369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33897645)-sin(1.33895442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229749097910174-0.229770538549539)×R²
    abs(-1.76963859--1.76973446)×2.14406393649891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14406393649891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14406393649891e-05×40589641000000     		ar = 19696.3845001663m²