Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14308 / 21725
↖ ↑ ↗
← S 50.492463°
W 22.807617°		 ← 777.14 m → S 50.492463°
W 22.796631°		 →
↑
777.13 m
↓
↑
777.13 m
↓
S 50.499452°
W 22.807617°		 ← 777.03 m →
603 899 m²		 S 50.499452°
W 22.796631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436660766601562 y=0.663009643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436660766601562 × 215)
    floor (0.436660766601562 × 32768)
    floor (14308.5)     		tx = 14308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663009643554688 × 215)
    floor (0.663009643554688 × 32768)
    floor (21725.5)     		ty = 21725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14308 / 21725 ti = "15/14308/21725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14308/21725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14308 ÷ 215
    14308 ÷ 32768     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21725 ÷ 215
    21725 ÷ 32768     		y = 0.662994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.32598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02412392348288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02412392348288))-π/2
    2×atan(0.359110936293886)-π/2
    2×0.344768297027611-π/2
    0.689536594055222-1.57079632675     		φ = -0.88125973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88125973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.492463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14308 KachelY 21725 -0.39806801 -0.88125973 -22.807617 -50.492463
    Oben rechts KachelX + 1 14309 KachelY 21725 -0.39787627 -0.88125973 -22.796631 -50.492463
    Unten links KachelX 14308 KachelY + 1 21726 -0.39806801 -0.88138171 -22.807617 -50.499452
    Unten rechts KachelX + 1 14309 KachelY + 1 21726 -0.39787627 -0.88138171 -22.796631 -50.499452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88125973--0.88138171) × R
    0.000121979999999966 × 6371000     		dl = 777.134579999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88125973--0.88138171) × R
    0.000121979999999966 × 6371000     		dr = 777.134579999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39787627) × cos(-0.88125973) × R
    0.000191740000000051 × 0.636179716013685 × 6371000     		do = 777.141580126672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39787627) × cos(-0.88138171) × R
    0.000191740000000051 × 0.636085598721362 × 6371000     		du = 777.02660874448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88125973)-sin(-0.88138171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636179716013685-0.636085598721362)×R²
    abs(-0.39787627--0.39806801)×9.41172923225597e-05×R²
    0.000191740000000051×9.41172923225597e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.41172923225597e-05×40589641000000     		ar = 603898.92210246m²