Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14308 / 18460
↖ ↑ ↗
← N 78.046071°
W140.701904°		 ← 63.25 m → N 78.046071°
W140.699158°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.045502°
W140.701904°		 ← 63.25 m →
3 997 m²		 N 78.045502°
W140.699158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109165191650391 y=0.140842437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109165191650391 × 217)
    floor (0.109165191650391 × 131072)
    floor (14308.5)     		tx = 14308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140842437744141 × 217)
    floor (0.140842437744141 × 131072)
    floor (18460.5)     		ty = 18460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14308 / 18460 ti = "17/14308/18460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14308/18460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14308 ÷ 217
    14308 ÷ 131072     		x = 0.109161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18460 ÷ 217
    18460 ÷ 131072     		y = 0.140838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.78167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45571149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140838623046875 × 2 - 1) × π
    0.71832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25667748651376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45571149} λ = -2.45571149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25667748651376))-π/2
    2×atan(9.55130205955593)-π/2
    2×1.46647861550328-π/2
    2.93295723100656-1.57079632675     		φ = 1.36216090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45571149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.701904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36216090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.046071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14308 KachelY 18460 -2.45571149 1.36216090 -140.701904 78.046071
    Oben rechts KachelX + 1 14309 KachelY 18460 -2.45566356 1.36216090 -140.699158 78.046071
    Unten links KachelX 14308 KachelY + 1 18461 -2.45571149 1.36215098 -140.701904 78.045502
    Unten rechts KachelX + 1 14309 KachelY + 1 18461 -2.45566356 1.36215098 -140.699158 78.045502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36216090-1.36215098) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dl = 63.200319999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36216090-1.36215098) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dr = 63.200319999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45571149--2.45566356) × cos(1.36216090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207125111397893 × 6371000     		do = 63.2481444804755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45571149--2.45566356) × cos(1.36215098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207134816267173 × 6371000     		du = 63.2511079790597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36216090)-sin(1.36215098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207125111397893-0.207134816267173)×R²
    abs(-2.45566356--2.45571149)×9.70486928000835e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.70486928000835e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.70486928000835e-06×40589641000000     		ar = 3997.39661755854m²