Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14308 / 10328
↖ ↑ ↗
← N 76.730314°
W101.403808°		 ← 140.20 m → N 76.730314°
W101.398315°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
N 76.729053°
W101.403808°		 ← 140.21 m →
19 660 m²		 N 76.729053°
W101.398315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218330383300781 y=0.157600402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218330383300781 × 216)
    floor (0.218330383300781 × 65536)
    floor (14308.5)     		tx = 14308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157600402832031 × 216)
    floor (0.157600402832031 × 65536)
    floor (10328.5)     		ty = 10328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14308 / 10328 ti = "16/14308/10328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14308/10328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14308 ÷ 216
    14308 ÷ 65536     		x = 0.21832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10328 ÷ 216
    10328 ÷ 65536     		y = 0.1575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.5633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76983033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1575927734375 × 2 - 1) × π
    0.684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15140805494812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76983033} λ = -1.76983033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15140805494812))-π/2
    2×atan(8.59695486376921)-π/2
    2×1.45499647139458-π/2
    2.90999294278916-1.57079632675     		φ = 1.33919662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76983033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.403808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33919662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.730314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14308 KachelY 10328 -1.76983033 1.33919662 -101.403808 76.730314
    Oben rechts KachelX + 1 14309 KachelY 10328 -1.76973446 1.33919662 -101.398315 76.730314
    Unten links KachelX 14308 KachelY + 1 10329 -1.76983033 1.33917461 -101.403808 76.729053
    Unten rechts KachelX + 1 14309 KachelY + 1 10329 -1.76973446 1.33917461 -101.398315 76.729053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33919662-1.33917461) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33919662-1.33917461) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76983033--1.76973446) × cos(1.33919662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22953481191469 × 6371000     		do = 140.19705590674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76983033--1.76973446) × cos(1.33917461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229556234202042 × 6371000     		du = 140.21014037786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33919662)-sin(1.33917461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22953481191469-0.229556234202042)×R²
    abs(-1.76973446--1.76983033)×2.14222873518577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14222873518577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14222873518577e-05×40589641000000     		ar = 19660.1490951422m²