Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14307 / 11236
↖ ↑ ↗
← N 49.124219°
W 22.818603°		 ← 799.47 m → N 49.124219°
W 22.807617°		 →
↑
799.50 m
↓
↑
799.50 m
↓
N 49.117029°
W 22.818603°		 ← 799.58 m →
639 217 m²		 N 49.117029°
W 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436630249023438 y=0.342910766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436630249023438 × 215)
    floor (0.436630249023438 × 32768)
    floor (14307.5)     		tx = 14307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342910766601562 × 215)
    floor (0.342910766601562 × 32768)
    floor (11236.5)     		ty = 11236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14307 / 11236 ti = "15/14307/11236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14307/11236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14307 ÷ 215
    14307 ÷ 32768     		x = 0.436614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11236 ÷ 215
    11236 ÷ 32768     		y = 0.3428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.12677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39825976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    0.314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.987116636976196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39825976} λ = -0.39825976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987116636976196))-π/2
    2×atan(2.68348584280763)-π/2
    2×1.21408784756796-π/2
    2.42817569513593-1.57079632675     		φ = 0.85737937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39825976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.818603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85737937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.124219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14307 KachelY 11236 -0.39825976 0.85737937 -22.818603 49.124219
    Oben rechts KachelX + 1 14308 KachelY 11236 -0.39806801 0.85737937 -22.807617 49.124219
    Unten links KachelX 14307 KachelY + 1 11237 -0.39825976 0.85725388 -22.818603 49.117029
    Unten rechts KachelX + 1 14308 KachelY + 1 11237 -0.39806801 0.85725388 -22.807617 49.117029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85737937-0.85725388) × R
    0.00012548999999995 × 6371000     		dl = 799.496789999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85737937-0.85725388) × R
    0.00012548999999995 × 6371000     		dr = 799.496789999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39825976--0.39806801) × cos(0.85737937) × R
    0.000191749999999991 × 0.654421250474776 × 6371000     		do = 799.466685614029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39825976--0.39806801) × cos(0.85725388) × R
    0.000191749999999991 × 0.654516132096147 × 6371000     		du = 799.582596726798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85737937)-sin(0.85725388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654421250474776-0.654516132096147)×R²
    abs(-0.39806801--0.39825976)×9.48816213707238e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48816213707238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48816213707238e-05×40589641000000     		ar = 639217.384979965m²