Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14305 / 9573
↖ ↑ ↗
← N 59.684381°
W 22.840576°		 ← 616.64 m → N 59.684381°
W 22.829590°		 →
↑
616.65 m
↓
↑
616.65 m
↓
N 59.678835°
W 22.840576°		 ← 616.74 m →
380 281 m²		 N 59.678835°
W 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436569213867188 y=0.292160034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436569213867188 × 215)
    floor (0.436569213867188 × 32768)
    floor (14305.5)     		tx = 14305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292160034179688 × 215)
    floor (0.292160034179688 × 32768)
    floor (9573.5)     		ty = 9573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14305 / 9573 ti = "15/14305/9573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14305/9573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14305 ÷ 215
    14305 ÷ 32768     		x = 0.436553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9573 ÷ 215
    9573 ÷ 32768     		y = 0.292144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292144775390625 × 2 - 1) × π
    0.41571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30599289324881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39864326} λ = -0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30599289324881))-π/2
    2×atan(3.6913523936418)-π/2
    2×1.3062426452568-π/2
    2.61248529051361-1.57079632675     		φ = 1.04168896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04168896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.684381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14305 KachelY 9573 -0.39864326 1.04168896 -22.840576 59.684381
    Oben rechts KachelX + 1 14306 KachelY 9573 -0.39845151 1.04168896 -22.829590 59.684381
    Unten links KachelX 14305 KachelY + 1 9574 -0.39864326 1.04159217 -22.840576 59.678835
    Unten rechts KachelX + 1 14306 KachelY + 1 9574 -0.39845151 1.04159217 -22.829590 59.678835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04168896-1.04159217) × R
    9.67900000001798e-05 × 6371000     		dl = 616.649090001145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04168896-1.04159217) × R
    9.67900000001798e-05 × 6371000     		dr = 616.649090001145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39864326--0.39845151) × cos(1.04168896) × R
    0.000191749999999991 × 0.504762969663422 × 6371000     		do = 616.638255687365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39864326--0.39845151) × cos(1.04159217) × R
    0.000191749999999991 × 0.504846522039038 × 6371000     		du = 616.740326548848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04168896)-sin(1.04159217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504762969663422-0.504846522039038)×R²
    abs(-0.39845151--0.39864326)×8.35523756153034e-05×R²
    0.000191749999999991×8.35523756153034e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.35523756153034e-05×40589641000000     		ar = 380280.890479012m²