Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14305 / 2271
↖ ↑ ↗
← N 78.211053°
E134.318848°		 ← 499.17 m → N 78.211053°
E134.340820°		 →
↑
499.30 m
↓
↑
499.30 m
↓
N 78.206563°
E134.318848°		 ← 499.35 m →
249 278 m²		 N 78.206563°
E134.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873138427734375 y=0.138641357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873138427734375 × 214)
    floor (0.873138427734375 × 16384)
    floor (14305.5)     		tx = 14305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138641357421875 × 214)
    floor (0.138641357421875 × 16384)
    floor (2271.5)     		ty = 2271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14305 / 2271 ti = "14/14305/2271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14305/2271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14305 ÷ 214
    14305 ÷ 16384     		x = 0.87310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2271 ÷ 214
    2271 ÷ 16384     		y = 0.13861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87310791015625 × 2 - 1) × π
    0.7462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34430614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13861083984375 × 2 - 1) × π
    0.7227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27067506120282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34430614} λ = 2.34430614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27067506120282))-π/2
    2×atan(9.68593720801372)-π/2
    2×1.46791835763781-π/2
    2.93583671527563-1.57079632675     		φ = 1.36504039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34430614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36504039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.211053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14305 KachelY 2271 2.34430614 1.36504039 134.318848 78.211053
    Oben rechts KachelX + 1 14306 KachelY 2271 2.34468963 1.36504039 134.340820 78.211053
    Unten links KachelX 14305 KachelY + 1 2272 2.34430614 1.36496202 134.318848 78.206563
    Unten rechts KachelX + 1 14306 KachelY + 1 2272 2.34468963 1.36496202 134.340820 78.206563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36504039-1.36496202) × R
    7.83699999999943e-05 × 6371000     		dl = 499.295269999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36504039-1.36496202) × R
    7.83699999999943e-05 × 6371000     		dr = 499.295269999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34430614-2.34468963) × cos(1.36504039) × R
    0.000383489999999931 × 0.204307209893685 × 6371000     		do = 499.166396915796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34430614-2.34468963) × cos(1.36496202) × R
    0.000383489999999931 × 0.204383926193747 × 6371000     		du = 499.353831314741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36504039)-sin(1.36496202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204307209893685-0.204383926193747)×R²
    abs(2.34468963-2.34430614)×7.67163000618132e-05×R²
    0.000383489999999931×7.67163000618132e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.67163000618132e-05×40589641000000     		ar = 249278.213603768m²