Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14305 / 18271
↖ ↑ ↗
← N 78.153115°
W140.710144°		 ← 62.69 m → N 78.153115°
W140.707398°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.152551°
W140.710144°		 ← 62.69 m →
3 930 m²		 N 78.152551°
W140.707398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109142303466797 y=0.139400482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109142303466797 × 217)
    floor (0.109142303466797 × 131072)
    floor (14305.5)     		tx = 14305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139400482177734 × 217)
    floor (0.139400482177734 × 131072)
    floor (18271.5)     		ty = 18271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14305 / 18271 ti = "17/14305/18271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14305/18271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14305 ÷ 217
    14305 ÷ 131072     		x = 0.109138488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18271 ÷ 217
    18271 ÷ 131072     		y = 0.139396667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109138488769531 × 2 - 1) × π
    -0.781723022460938 × 3.1415926535     		Λ = -2.45585530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139396667480469 × 2 - 1) × π
    0.721206665039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.26573756054195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45585530} λ = -2.45585530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26573756054195))-π/2
    2×atan(9.63823075887935)-π/2
    2×1.46741275333029-π/2
    2.93482550666059-1.57079632675     		φ = 1.36402918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45585530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.710144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36402918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.153115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14305 KachelY 18271 -2.45585530 1.36402918 -140.710144 78.153115
    Oben rechts KachelX + 1 14306 KachelY 18271 -2.45580737 1.36402918 -140.707398 78.153115
    Unten links KachelX 14305 KachelY + 1 18272 -2.45585530 1.36401934 -140.710144 78.152551
    Unten rechts KachelX + 1 14306 KachelY + 1 18272 -2.45580737 1.36401934 -140.707398 78.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36402918-1.36401934) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36402918-1.36401934) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45585530--2.45580737) × cos(1.36402918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205296985634621 × 6371000     		do = 62.6899042863071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45585530--2.45580737) × cos(1.36401934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205306616029956 × 6371000     		du = 62.6928450433762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36402918)-sin(1.36401934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205296985634621-0.205306616029956)×R²
    abs(-2.45580737--2.45585530)×9.63039533452559e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.63039533452559e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.63039533452559e-06×40589641000000     		ar = 3930.16240040378m²