Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14305 / 10531
↖ ↑ ↗
← N 53.936688°
W 22.840576°		 ← 719.15 m → N 53.936688°
W 22.829590°		 →
↑
719.22 m
↓
↑
719.22 m
↓
N 53.930220°
W 22.840576°		 ← 719.26 m →
517 271 m²		 N 53.930220°
W 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436569213867188 y=0.321395874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436569213867188 × 215)
    floor (0.436569213867188 × 32768)
    floor (14305.5)     		tx = 14305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321395874023438 × 215)
    floor (0.321395874023438 × 32768)
    floor (10531.5)     		ty = 10531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14305 / 10531 ti = "15/14305/10531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14305/10531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14305 ÷ 215
    14305 ÷ 32768     		x = 0.436553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10531 ÷ 215
    10531 ÷ 32768     		y = 0.321380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321380615234375 × 2 - 1) × π
    0.35723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12229869390475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39864326} λ = -0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12229869390475))-π/2
    2×atan(3.07190746851217)-π/2
    2×1.25608455811637-π/2
    2.51216911623273-1.57079632675     		φ = 0.94137279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94137279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.936688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14305 KachelY 10531 -0.39864326 0.94137279 -22.840576 53.936688
    Oben rechts KachelX + 1 14306 KachelY 10531 -0.39845151 0.94137279 -22.829590 53.936688
    Unten links KachelX 14305 KachelY + 1 10532 -0.39864326 0.94125990 -22.840576 53.930220
    Unten rechts KachelX + 1 14306 KachelY + 1 10532 -0.39845151 0.94125990 -22.829590 53.930220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94137279-0.94125990) × R
    0.000112889999999921 × 6371000     		dl = 719.222189999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94137279-0.94125990) × R
    0.000112889999999921 × 6371000     		dr = 719.222189999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39864326--0.39845151) × cos(0.94137279) × R
    0.000191749999999991 × 0.588678861951521 × 6371000     		do = 719.153203405274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39864326--0.39845151) × cos(0.94125990) × R
    0.000191749999999991 × 0.588770114750208 × 6371000     		du = 719.264681405823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94137279)-sin(0.94125990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588678861951521-0.588770114750208)×R²
    abs(-0.39845151--0.39864326)×9.12527986874911e-05×R²
    0.000191749999999991×9.12527986874911e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.12527986874911e-05×40589641000000     		ar = 517271.03117359m²