Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14304 / 10592
↖ ↑ ↗
← N 53.540308°
W 22.851562°		 ← 725.93 m → N 53.540308°
W 22.840576°		 →
↑
726.04 m
↓
↑
726.04 m
↓
N 53.533778°
W 22.851562°		 ← 726.04 m →
527 094 m²		 N 53.533778°
W 22.840576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436538696289062 y=0.323257446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436538696289062 × 215)
    floor (0.436538696289062 × 32768)
    floor (14304.5)     		tx = 14304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323257446289062 × 215)
    floor (0.323257446289062 × 32768)
    floor (10592.5)     		ty = 10592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14304 / 10592 ti = "15/14304/10592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14304/10592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14304 ÷ 215
    14304 ÷ 32768     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10592 ÷ 215
    10592 ÷ 32768     		y = 0.3232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    0.353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11060209039746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11060209039746))-π/2
    2×atan(3.03618590259477)-π/2
    2×1.25262548664378-π/2
    2.50525097328757-1.57079632675     		φ = 0.93445465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93445465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.540308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14304 KachelY 10592 -0.39883500 0.93445465 -22.851562 53.540308
    Oben rechts KachelX + 1 14305 KachelY 10592 -0.39864326 0.93445465 -22.840576 53.540308
    Unten links KachelX 14304 KachelY + 1 10593 -0.39883500 0.93434069 -22.851562 53.533778
    Unten rechts KachelX + 1 14305 KachelY + 1 10593 -0.39864326 0.93434069 -22.840576 53.533778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93445465-0.93434069) × R
    0.00011396000000008 × 6371000     		dl = 726.039160000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93445465-0.93434069) × R
    0.00011396000000008 × 6371000     		dr = 726.039160000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39864326) × cos(0.93445465) × R
    0.000191739999999996 × 0.594257126156798 × 6371000     		do = 725.929969783823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39864326) × cos(0.93434069) × R
    0.000191739999999996 × 0.594348777490457 × 6371000     		du = 726.041928811228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93445465)-sin(0.93434069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594257126156798-0.594348777490457)×R²
    abs(-0.39864326--0.39883500)×9.16513336581826e-05×R²
    0.000191739999999996×9.16513336581826e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.16513336581826e-05×40589641000000     		ar = 527094.229370041m²