Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14303 / 2273
↖ ↑ ↗
← N 78.202072°
E134.274902°		 ← 499.54 m → N 78.202072°
E134.296875°		 →
↑
499.68 m
↓
↑
499.68 m
↓
N 78.197578°
E134.274902°		 ← 499.73 m →
249 656 m²		 N 78.197578°
E134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873016357421875 y=0.138763427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873016357421875 × 214)
    floor (0.873016357421875 × 16384)
    floor (14303.5)     		tx = 14303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138763427734375 × 214)
    floor (0.138763427734375 × 16384)
    floor (2273.5)     		ty = 2273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14303 / 2273 ti = "14/14303/2273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14303/2273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14303 ÷ 214
    14303 ÷ 16384     		x = 0.87298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2273 ÷ 214
    2273 ÷ 16384     		y = 0.13873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87298583984375 × 2 - 1) × π
    0.7459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34353915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13873291015625 × 2 - 1) × π
    0.7225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2699080708089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34353915} λ = 2.34353915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2699080708089))-π/2
    2×atan(9.6785110354846)-π/2
    2×1.46783997738313-π/2
    2.93567995476625-1.57079632675     		φ = 1.36488363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34353915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36488363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.202072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14303 KachelY 2273 2.34353915 1.36488363 134.274902 78.202072
    Oben rechts KachelX + 1 14304 KachelY 2273 2.34392264 1.36488363 134.296875 78.202072
    Unten links KachelX 14303 KachelY + 1 2274 2.34353915 1.36480520 134.274902 78.197578
    Unten rechts KachelX + 1 14304 KachelY + 1 2274 2.34392264 1.36480520 134.296875 78.197578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36488363-1.36480520) × R
    7.84300000000737e-05 × 6371000     		dl = 499.67753000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36488363-1.36480520) × R
    7.84300000000737e-05 × 6371000     		dr = 499.67753000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34353915-2.34392264) × cos(1.36488363) × R
    0.000383490000000375 × 0.204460660816008 × 6371000     		do = 499.541310479332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34353915-2.34392264) × cos(1.36480520) × R
    0.000383490000000375 × 0.204537433336209 × 6371000     		du = 499.728882236154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36488363)-sin(1.36480520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204460660816008-0.204537433336209)×R²
    abs(2.34392264-2.34353915)×7.6772520201468e-05×R²
    0.000383490000000375×7.6772520201468e-05×6371000²
    0.000383490000000375×7.6772520201468e-05×40589641000000     		ar = 249656.430976548m²