Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14303 / 10533
↖ ↑ ↗
← N 53.923751°
W 22.862549°		 ← 719.38 m → N 53.923751°
W 22.851562°		 →
↑
719.41 m
↓
↑
719.41 m
↓
N 53.917281°
W 22.862549°		 ← 719.49 m →
517 569 m²		 N 53.917281°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436508178710938 y=0.321456909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436508178710938 × 215)
    floor (0.436508178710938 × 32768)
    floor (14303.5)     		tx = 14303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321456909179688 × 215)
    floor (0.321456909179688 × 32768)
    floor (10533.5)     		ty = 10533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14303 / 10533 ti = "15/14303/10533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14303/10533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14303 ÷ 215
    14303 ÷ 32768     		x = 0.436492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10533 ÷ 215
    10533 ÷ 32768     		y = 0.321441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.12701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39902675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321441650390625 × 2 - 1) × π
    0.35711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12191519870779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39902675} λ = -0.39902675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12191519870779))-π/2
    2×atan(3.07072963261413)-π/2
    2×1.25597166286105-π/2
    2.5119433257221-1.57079632675     		φ = 0.94114700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39902675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.862549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94114700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.923751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14303 KachelY 10533 -0.39902675 0.94114700 -22.862549 53.923751
    Oben rechts KachelX + 1 14304 KachelY 10533 -0.39883500 0.94114700 -22.851562 53.923751
    Unten links KachelX 14303 KachelY + 1 10534 -0.39902675 0.94103408 -22.862549 53.917281
    Unten rechts KachelX + 1 14304 KachelY + 1 10534 -0.39883500 0.94103408 -22.851562 53.917281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94114700-0.94103408) × R
    0.000112919999999961 × 6371000     		dl = 719.41331999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94114700-0.94103408) × R
    0.000112919999999961 × 6371000     		dr = 719.41331999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39902675--0.39883500) × cos(0.94114700) × R
    0.000191749999999991 × 0.58886136812786 × 6371000     		do = 719.376160113658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39902675--0.39883500) × cos(0.94103408) × R
    0.000191749999999991 × 0.588952630162995 × 6371000     		du = 719.487649397814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94114700)-sin(0.94103408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58886136812786-0.588952630162995)×R²
    abs(-0.39883500--0.39902675)×9.12620351349869e-05×R²
    0.000191749999999991×9.12620351349869e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.12620351349869e-05×40589641000000     		ar = 517568.895663528m²