Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14303 / 10333
↖ ↑ ↗
← N 76.724008°
W101.431274°		 ← 140.26 m → N 76.724008°
W101.425781°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
N 76.722747°
W101.431274°		 ← 140.28 m →
19 678 m²		 N 76.722747°
W101.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218254089355469 y=0.157676696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218254089355469 × 216)
    floor (0.218254089355469 × 65536)
    floor (14303.5)     		tx = 14303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157676696777344 × 216)
    floor (0.157676696777344 × 65536)
    floor (10333.5)     		ty = 10333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14303 / 10333 ti = "16/14303/10333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14303/10333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14303 ÷ 216
    14303 ÷ 65536     		x = 0.218246459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10333 ÷ 216
    10333 ÷ 65536     		y = 0.157669067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218246459960938 × 2 - 1) × π
    -0.563507080078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77030970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157669067382812 × 2 - 1) × π
    0.684661865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15092868595192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77030970} λ = -1.77030970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15092868595192))-π/2
    2×atan(8.59283473775502)-π/2
    2×1.45494144262118-π/2
    2.90988288524235-1.57079632675     		φ = 1.33908656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77030970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.431274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33908656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.724008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14303 KachelY 10333 -1.77030970 1.33908656 -101.431274 76.724008
    Oben rechts KachelX + 1 14304 KachelY 10333 -1.77021383 1.33908656 -101.425781 76.724008
    Unten links KachelX 14303 KachelY + 1 10334 -1.77030970 1.33906454 -101.431274 76.722747
    Unten rechts KachelX + 1 14304 KachelY + 1 10334 -1.77021383 1.33906454 -101.425781 76.722747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33908656-1.33906454) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dl = 140.289419999012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33908656-1.33906454) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dr = 140.289419999012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77030970--1.77021383) × cos(1.33908656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229641931972034 × 6371000     		do = 140.262483527687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77030970--1.77021383) × cos(1.33906454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229663363435902 × 6371000     		du = 140.275573603711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33908656)-sin(1.33906454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229641931972034-0.229663363435902)×R²
    abs(-1.77021383--1.77030970)×2.14314638673496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14314638673496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14314638673496e-05×40589641000000     		ar = 19678.2606620453m²