Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14302 / 18446
↖ ↑ ↗
← N 78.054032°
W140.718384°		 ← 63.22 m → N 78.054032°
W140.715637°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.053464°
W140.718384°		 ← 63.22 m →
3 996 m²		 N 78.053464°
W140.715637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109119415283203 y=0.140735626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109119415283203 × 217)
    floor (0.109119415283203 × 131072)
    floor (14302.5)     		tx = 14302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140735626220703 × 217)
    floor (0.140735626220703 × 131072)
    floor (18446.5)     		ty = 18446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14302 / 18446 ti = "17/14302/18446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14302/18446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14302 ÷ 217
    14302 ÷ 131072     		x = 0.109115600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18446 ÷ 217
    18446 ÷ 131072     		y = 0.140731811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109115600585938 × 2 - 1) × π
    -0.781768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45599912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140731811523438 × 2 - 1) × π
    0.718536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25734860310844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45599912} λ = -2.45599912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25734860310844))-π/2
    2×atan(9.55771424829137)-π/2
    2×1.46654809523998-π/2
    2.93309619047996-1.57079632675     		φ = 1.36229986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45599912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.718384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36229986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.054032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14302 KachelY 18446 -2.45599912 1.36229986 -140.718384 78.054032
    Oben rechts KachelX + 1 14303 KachelY 18446 -2.45595118 1.36229986 -140.715637 78.054032
    Unten links KachelX 14302 KachelY + 1 18447 -2.45599912 1.36228994 -140.718384 78.053464
    Unten rechts KachelX + 1 14303 KachelY + 1 18447 -2.45595118 1.36228994 -140.715637 78.053464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36229986-1.36228994) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dl = 63.2003200006857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36229986-1.36228994) × R
    9.92000000010762e-06 × 6371000     		dr = 63.2003200006857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45599912--2.45595118) × cos(1.36229986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206989162820792 × 6371000     		do = 63.2198182264793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45599912--2.45595118) × cos(1.36228994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206998867975503 × 6371000     		du = 63.222782430539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36229986)-sin(1.36228994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206989162820792-0.206998867975503)×R²
    abs(-2.45595118--2.45599912)×9.70515471168665e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.70515471168665e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.70515471168665e-06×40589641000000     		ar = 3995.60641179349m²