Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14301 / 18461
↖ ↑ ↗
← N 78.045502°
W140.721130°		 ← 63.25 m → N 78.045502°
W140.718384°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.044933°
W140.721130°		 ← 63.25 m →
4 002 m²		 N 78.044933°
W140.718384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109111785888672 y=0.140850067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109111785888672 × 217)
    floor (0.109111785888672 × 131072)
    floor (14301.5)     		tx = 14301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140850067138672 × 217)
    floor (0.140850067138672 × 131072)
    floor (18461.5)     		ty = 18461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14301 / 18461 ti = "17/14301/18461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14301/18461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14301 ÷ 217
    14301 ÷ 131072     		x = 0.109107971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18461 ÷ 217
    18461 ÷ 131072     		y = 0.140846252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109107971191406 × 2 - 1) × π
    -0.781784057617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.45604705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140846252441406 × 2 - 1) × π
    0.718307495117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.25662954961414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45604705} λ = -2.45604705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25662954961414))-π/2
    2×atan(9.55084421072187)-π/2
    2×1.46647365091913-π/2
    2.93294730183826-1.57079632675     		φ = 1.36215098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45604705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.721130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36215098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.045502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14301 KachelY 18461 -2.45604705 1.36215098 -140.721130 78.045502
    Oben rechts KachelX + 1 14302 KachelY 18461 -2.45599912 1.36215098 -140.718384 78.045502
    Unten links KachelX 14301 KachelY + 1 18462 -2.45604705 1.36214105 -140.721130 78.044933
    Unten rechts KachelX + 1 14302 KachelY + 1 18462 -2.45599912 1.36214105 -140.718384 78.044933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36215098-1.36214105) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36215098-1.36214105) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45604705--2.45599912) × cos(1.36215098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207134816267173 × 6371000     		do = 63.2511079790597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45604705--2.45599912) × cos(1.36214105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207144530899173 × 6371000     		du = 63.254074458808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36215098)-sin(1.36214105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207134816267173-0.207144530899173)×R²
    abs(-2.45599912--2.45604705)×9.7146320003072e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.7146320003072e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.7146320003072e-06×40589641000000     		ar = 4001.61382860146m²