Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14301 / 10520
↖ ↑ ↗
← N 54.007769°
W 22.884522°		 ← 717.93 m → N 54.007769°
W 22.873535°		 →
↑
718.01 m
↓
↑
718.01 m
↓
N 54.001312°
W 22.884522°		 ← 718.04 m →
515 520 m²		 N 54.001312°
W 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436447143554688 y=0.321060180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436447143554688 × 215)
    floor (0.436447143554688 × 32768)
    floor (14301.5)     		tx = 14301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321060180664062 × 215)
    floor (0.321060180664062 × 32768)
    floor (10520.5)     		ty = 10520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14301 / 10520 ti = "15/14301/10520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14301/10520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14301 ÷ 215
    14301 ÷ 32768     		x = 0.436431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10520 ÷ 215
    10520 ÷ 32768     		y = 0.321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.12713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39941025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321044921875 × 2 - 1) × π
    0.35791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12440791748804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39941025} λ = -0.39941025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12440791748804))-π/2
    2×atan(3.07839364618522)-π/2
    2×1.25670485666376-π/2
    2.51340971332751-1.57079632675     		φ = 0.94261339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39941025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.884522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94261339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.007769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14301 KachelY 10520 -0.39941025 0.94261339 -22.884522 54.007769
    Oben rechts KachelX + 1 14302 KachelY 10520 -0.39921850 0.94261339 -22.873535 54.007769
    Unten links KachelX 14301 KachelY + 1 10521 -0.39941025 0.94250069 -22.884522 54.001312
    Unten rechts KachelX + 1 14302 KachelY + 1 10521 -0.39921850 0.94250069 -22.873535 54.001312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94261339-0.94250069) × R
    0.000112699999999966 × 6371000     		dl = 718.011699999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94261339-0.94250069) × R
    0.000112699999999966 × 6371000     		dr = 718.011699999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39941025--0.39921850) × cos(0.94261339) × R
    0.000191750000000046 × 0.587675549101293 × 6371000     		do = 717.927517047614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39941025--0.39921850) × cos(0.94250069) × R
    0.000191750000000046 × 0.587766730565611 × 6371000     		du = 718.038907903298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94261339)-sin(0.94250069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587675549101293-0.587766730565611)×R²
    abs(-0.39921850--0.39941025)×9.11814643181907e-05×R²
    0.000191750000000046×9.11814643181907e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.11814643181907e-05×40589641000000     		ar = 515520.347506489m²