Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14300 / 9580
↖ ↑ ↗
← N 59.645540°
W 22.895508°		 ← 617.35 m → N 59.645540°
W 22.884522°		 →
↑
617.41 m
↓
↑
617.41 m
↓
N 59.639988°
W 22.895508°		 ← 617.46 m →
381 194 m²		 N 59.639988°
W 22.884522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436416625976562 y=0.292373657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436416625976562 × 215)
    floor (0.436416625976562 × 32768)
    floor (14300.5)     		tx = 14300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292373657226562 × 215)
    floor (0.292373657226562 × 32768)
    floor (9580.5)     		ty = 9580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14300 / 9580 ti = "15/14300/9580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14300/9580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14300 ÷ 215
    14300 ÷ 32768     		x = 0.4364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9580 ÷ 215
    9580 ÷ 32768     		y = 0.2923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2923583984375 × 2 - 1) × π
    0.415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30465066005945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39960200} λ = -0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30465066005945))-π/2
    2×atan(3.68640106160988)-π/2
    2×1.30590369414727-π/2
    2.61180738829454-1.57079632675     		φ = 1.04101106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04101106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.645540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14300 KachelY 9580 -0.39960200 1.04101106 -22.895508 59.645540
    Oben rechts KachelX + 1 14301 KachelY 9580 -0.39941025 1.04101106 -22.884522 59.645540
    Unten links KachelX 14300 KachelY + 1 9581 -0.39960200 1.04091415 -22.895508 59.639988
    Unten rechts KachelX + 1 14301 KachelY + 1 9581 -0.39941025 1.04091415 -22.884522 59.639988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04101106-1.04091415) × R
    9.69099999998946e-05 × 6371000     		dl = 617.413609999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04101106-1.04091415) × R
    9.69099999998946e-05 × 6371000     		dr = 617.413609999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39960200--0.39941025) × cos(1.04101106) × R
    0.000191749999999991 × 0.505348056223474 × 6371000     		do = 617.353020393772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39960200--0.39941025) × cos(1.04091415) × R
    0.000191749999999991 × 0.505431679001664 × 6371000     		du = 617.455177261803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04101106)-sin(1.04091415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505348056223474-0.505431679001664)×R²
    abs(-0.39941025--0.39960200)×8.36227781896293e-05×R²
    0.000191749999999991×8.36227781896293e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.36227781896293e-05×40589641000000     		ar = 381193.693784074m²