Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14300 / 20242
↖ ↑ ↗
← S 38.976492°
W 22.895508°		 ← 949.71 m → S 38.976492°
W 22.884522°		 →
↑
949.66 m
↓
↑
949.66 m
↓
S 38.985033°
W 22.895508°		 ← 949.59 m →
901 846 m²		 S 38.985033°
W 22.884522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436416625976562 y=0.617752075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436416625976562 × 215)
    floor (0.436416625976562 × 32768)
    floor (14300.5)     		tx = 14300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617752075195312 × 215)
    floor (0.617752075195312 × 32768)
    floor (20242.5)     		ty = 20242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14300 / 20242 ti = "15/14300/20242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14300/20242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14300 ÷ 215
    14300 ÷ 32768     		x = 0.4364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20242 ÷ 215
    20242 ÷ 32768     		y = 0.61773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.2354736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.739762234936707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39960200} λ = -0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739762234936707))-π/2
    2×atan(0.477227370028581)-π/2
    2×0.445264101029922-π/2
    0.890528202059843-1.57079632675     		φ = -0.68026812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68026812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.976492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14300 KachelY 20242 -0.39960200 -0.68026812 -22.895508 -38.976492
    Oben rechts KachelX + 1 14301 KachelY 20242 -0.39941025 -0.68026812 -22.884522 -38.976492
    Unten links KachelX 14300 KachelY + 1 20243 -0.39960200 -0.68041718 -22.895508 -38.985033
    Unten rechts KachelX + 1 14301 KachelY + 1 20243 -0.39941025 -0.68041718 -22.884522 -38.985033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68026812--0.68041718) × R
    0.000149059999999923 × 6371000     		dl = 949.66125999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68026812--0.68041718) × R
    0.000149059999999923 × 6371000     		dr = 949.66125999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39960200--0.39941025) × cos(-0.68026812) × R
    0.000191749999999991 × 0.777404098818144 × 6371000     		do = 949.707360227077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39960200--0.39941025) × cos(-0.68041718) × R
    0.000191749999999991 × 0.777310331220729 × 6371000     		du = 949.592810049697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68026812)-sin(-0.68041718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777404098818144-0.777310331220729)×R²
    abs(-0.39941025--0.39960200)×9.37675974149732e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37675974149732e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37675974149732e-05×40589641000000     		ar = 901845.898081517m²