Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14300 / 20239
↖ ↑ ↗
← S 38.950866°
W 22.895508°		 ← 950.05 m → S 38.950866°
W 22.884522°		 →
↑
949.98 m
↓
↑
949.98 m
↓
S 38.959409°
W 22.895508°		 ← 949.94 m →
902 475 m²		 S 38.959409°
W 22.884522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436416625976562 y=0.617660522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436416625976562 × 215)
    floor (0.436416625976562 × 32768)
    floor (14300.5)     		tx = 14300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617660522460938 × 215)
    floor (0.617660522460938 × 32768)
    floor (20239.5)     		ty = 20239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14300 / 20239 ti = "15/14300/20239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14300/20239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14300 ÷ 215
    14300 ÷ 32768     		x = 0.4364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20239 ÷ 215
    20239 ÷ 32768     		y = 0.617645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.23529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.739186992141266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39960200} λ = -0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739186992141266))-π/2
    2×atan(0.477501970608407)-π/2
    2×0.445487739532066-π/2
    0.890975479064132-1.57079632675     		φ = -0.67982085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67982085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.950866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14300 KachelY 20239 -0.39960200 -0.67982085 -22.895508 -38.950866
    Oben rechts KachelX + 1 14301 KachelY 20239 -0.39941025 -0.67982085 -22.884522 -38.950866
    Unten links KachelX 14300 KachelY + 1 20240 -0.39960200 -0.67996996 -22.895508 -38.959409
    Unten rechts KachelX + 1 14301 KachelY + 1 20240 -0.39941025 -0.67996996 -22.884522 -38.959409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67982085--0.67996996) × R
    0.000149109999999952 × 6371000     		dl = 949.979809999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67982085--0.67996996) × R
    0.000149109999999952 × 6371000     		dr = 949.979809999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39960200--0.39941025) × cos(-0.67982085) × R
    0.000191749999999991 × 0.777685354542588 × 6371000     		do = 950.050953259345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39960200--0.39941025) × cos(-0.67996996) × R
    0.000191749999999991 × 0.777591607342525 × 6371000     		du = 949.93642800017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67982085)-sin(-0.67996996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777685354542588-0.777591607342525)×R²
    abs(-0.39941025--0.39960200)×9.37472000628325e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37472000628325e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37472000628325e-05×40589641000000     		ar = 902474.827397146m²