Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14299 / 9584
↖ ↑ ↗
← N 59.623325°
W 22.906494°		 ← 617.73 m → N 59.623325°
W 22.895508°		 →
↑
617.86 m
↓
↑
617.86 m
↓
N 59.617769°
W 22.906494°		 ← 617.83 m →
381 702 m²		 N 59.617769°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436386108398438 y=0.292495727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436386108398438 × 215)
    floor (0.436386108398438 × 32768)
    floor (14299.5)     		tx = 14299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292495727539062 × 215)
    floor (0.292495727539062 × 32768)
    floor (9584.5)     		ty = 9584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14299 / 9584 ti = "15/14299/9584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14299/9584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14299 ÷ 215
    14299 ÷ 32768     		x = 0.436370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9584 ÷ 215
    9584 ÷ 32768     		y = 0.29248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.12725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39979374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29248046875 × 2 - 1) × π
    0.4150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39979374} λ = -0.39979374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30388366966553))-π/2
    2×atan(3.68357471143775)-π/2
    2×1.30570983145353-π/2
    2.61141966290706-1.57079632675     		φ = 1.04062334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39979374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.906494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04062334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.623325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14299 KachelY 9584 -0.39979374 1.04062334 -22.906494 59.623325
    Oben rechts KachelX + 1 14300 KachelY 9584 -0.39960200 1.04062334 -22.895508 59.623325
    Unten links KachelX 14299 KachelY + 1 9585 -0.39979374 1.04052636 -22.906494 59.617769
    Unten rechts KachelX + 1 14300 KachelY + 1 9585 -0.39960200 1.04052636 -22.895508 59.617769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04062334-1.04052636) × R
    9.69799999999132e-05 × 6371000     		dl = 617.859579999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04062334-1.04052636) × R
    9.69799999999132e-05 × 6371000     		dr = 617.859579999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39979374--0.39960200) × cos(1.04062334) × R
    0.000191739999999996 × 0.505682587869946 × 6371000     		do = 617.729480345813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39979374--0.39960200) × cos(1.04052636) × R
    0.000191739999999996 × 0.5057662520393 × 6371000     		du = 617.831682448671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04062334)-sin(1.04052636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505682587869946-0.5057662520393)×R²
    abs(-0.39960200--0.39979374)×8.36641693541251e-05×R²
    0.000191739999999996×8.36641693541251e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.36641693541251e-05×40589641000000     		ar = 381701.65085319m²