Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14299 / 9581
↖ ↑ ↗
← N 59.639988°
W 22.906494°		 ← 617.42 m → N 59.639988°
W 22.895508°		 →
↑
617.48 m
↓
↑
617.48 m
↓
N 59.634435°
W 22.906494°		 ← 617.53 m →
381 276 m²		 N 59.634435°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436386108398438 y=0.292404174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436386108398438 × 215)
    floor (0.436386108398438 × 32768)
    floor (14299.5)     		tx = 14299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292404174804688 × 215)
    floor (0.292404174804688 × 32768)
    floor (9581.5)     		ty = 9581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14299 / 9581 ti = "15/14299/9581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14299/9581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14299 ÷ 215
    14299 ÷ 32768     		x = 0.436370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9581 ÷ 215
    9581 ÷ 32768     		y = 0.292388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.12725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39979374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292388916015625 × 2 - 1) × π
    0.41522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30445891246097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39979374} λ = -0.39979374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30445891246097))-π/2
    2×atan(3.68569427082416)-π/2
    2×1.30585524050087-π/2
    2.61171048100175-1.57079632675     		φ = 1.04091415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39979374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.906494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04091415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.639988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14299 KachelY 9581 -0.39979374 1.04091415 -22.906494 59.639988
    Oben rechts KachelX + 1 14300 KachelY 9581 -0.39960200 1.04091415 -22.895508 59.639988
    Unten links KachelX 14299 KachelY + 1 9582 -0.39979374 1.04081723 -22.906494 59.634435
    Unten rechts KachelX + 1 14300 KachelY + 1 9582 -0.39960200 1.04081723 -22.895508 59.634435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04091415-1.04081723) × R
    9.69200000000559e-05 × 6371000     		dl = 617.477320000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04091415-1.04081723) × R
    9.69200000000559e-05 × 6371000     		dr = 617.477320000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39979374--0.39960200) × cos(1.04091415) × R
    0.000191739999999996 × 0.505431679001664 × 6371000     		do = 617.42297620955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39979374--0.39960200) × cos(1.04081723) × R
    0.000191739999999996 × 0.505515305661244 × 6371000     		du = 617.525132491385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04091415)-sin(1.04081723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505431679001664-0.505515305661244)×R²
    abs(-0.39960200--0.39979374)×8.36266595801716e-05×R²
    0.000191739999999996×8.36266595801716e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.36266595801716e-05×40589641000000     		ar = 381276.224548314m²