Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14299 / 10535
↖ ↑ ↗
← N 53.910810°
W 22.906494°		 ← 719.56 m → N 53.910810°
W 22.895508°		 →
↑
719.67 m
↓
↑
719.67 m
↓
N 53.904338°
W 22.906494°		 ← 719.67 m →
517 886 m²		 N 53.904338°
W 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436386108398438 y=0.321517944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436386108398438 × 215)
    floor (0.436386108398438 × 32768)
    floor (14299.5)     		tx = 14299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321517944335938 × 215)
    floor (0.321517944335938 × 32768)
    floor (10535.5)     		ty = 10535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14299 / 10535 ti = "15/14299/10535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14299/10535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14299 ÷ 215
    14299 ÷ 32768     		x = 0.436370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10535 ÷ 215
    10535 ÷ 32768     		y = 0.321502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.12725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39979374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321502685546875 × 2 - 1) × π
    0.35699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12153170351083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39979374} λ = -0.39979374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12153170351083))-π/2
    2×atan(3.0695522483239)-π/2
    2×1.25585873260798-π/2
    2.51171746521597-1.57079632675     		φ = 0.94092114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39979374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.906494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94092114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.910810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14299 KachelY 10535 -0.39979374 0.94092114 -22.906494 53.910810
    Oben rechts KachelX + 1 14300 KachelY 10535 -0.39960200 0.94092114 -22.895508 53.910810
    Unten links KachelX 14299 KachelY + 1 10536 -0.39979374 0.94080818 -22.906494 53.904338
    Unten rechts KachelX + 1 14300 KachelY + 1 10536 -0.39960200 0.94080818 -22.895508 53.904338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94092114-0.94080818) × R
    0.000112960000000051 × 6371000     		dl = 719.668160000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94092114-0.94080818) × R
    0.000112960000000051 × 6371000     		dr = 719.668160000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39979374--0.39960200) × cos(0.94092114) × R
    0.000191739999999996 × 0.58904390085046 × 6371000     		do = 719.561621265091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39979374--0.39960200) × cos(0.94080818) × R
    0.000191739999999996 × 0.589135180185098 × 6371000     		du = 719.673125867592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94092114)-sin(0.94080818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58904390085046-0.589135180185098)×R²
    abs(-0.39960200--0.39979374)×9.12793346379281e-05×R²
    0.000191739999999996×9.12793346379281e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.12793346379281e-05×40589641000000     		ar = 517885.711689622m²