Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14298 / 20263
↖ ↑ ↗
← S 39.155622°
W 22.917480°		 ← 947.30 m → S 39.155622°
W 22.906494°		 →
↑
947.24 m
↓
↑
947.24 m
↓
S 39.164141°
W 22.917480°		 ← 947.19 m →
897 267 m²		 S 39.164141°
W 22.906494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436355590820312 y=0.618392944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436355590820312 × 215)
    floor (0.436355590820312 × 32768)
    floor (14298.5)     		tx = 14298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618392944335938 × 215)
    floor (0.618392944335938 × 32768)
    floor (20263.5)     		ty = 20263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14298 / 20263 ti = "15/14298/20263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14298/20263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14298 ÷ 215
    14298 ÷ 32768     		x = 0.43634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20263 ÷ 215
    20263 ÷ 32768     		y = 0.618377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39998549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.23675537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.743788934504791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39998549} λ = -0.39998549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743788934504791))-π/2
    2×atan(0.47530958255211)-π/2
    2×0.443700897689262-π/2
    0.887401795378524-1.57079632675     		φ = -0.68339453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39998549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.917480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68339453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.155622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14298 KachelY 20263 -0.39998549 -0.68339453 -22.917480 -39.155622
    Oben rechts KachelX + 1 14299 KachelY 20263 -0.39979374 -0.68339453 -22.906494 -39.155622
    Unten links KachelX 14298 KachelY + 1 20264 -0.39998549 -0.68354321 -22.917480 -39.164141
    Unten rechts KachelX + 1 14299 KachelY + 1 20264 -0.39979374 -0.68354321 -22.906494 -39.164141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68339453--0.68354321) × R
    0.000148680000000012 × 6371000     		dl = 947.240280000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68339453--0.68354321) × R
    0.000148680000000012 × 6371000     		dr = 947.240280000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39998549--0.39979374) × cos(-0.68339453) × R
    0.000191749999999991 × 0.775433786149921 × 6371000     		do = 947.300348936803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39998549--0.39979374) × cos(-0.68354321) × R
    0.000191749999999991 × 0.775339896732112 × 6371000     		du = 947.185649938848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68339453)-sin(-0.68354321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775433786149921-0.775339896732112)×R²
    abs(-0.39979374--0.39998549)×9.38894178090788e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38894178090788e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38894178090788e-05×40589641000000     		ar = 897266.725669017m²