Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14296 / 7256
↖ ↑ ↗
← N 70.289116°
W 22.939453°		 ← 412.03 m → N 70.289116°
W 22.928467°		 →
↑
412.01 m
↓
↑
412.01 m
↓
N 70.285411°
W 22.939453°		 ← 412.10 m →
169 776 m²		 N 70.285411°
W 22.928467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436294555664062 y=0.221450805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436294555664062 × 215)
    floor (0.436294555664062 × 32768)
    floor (14296.5)     		tx = 14296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221450805664062 × 215)
    floor (0.221450805664062 × 32768)
    floor (7256.5)     		ty = 7256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14296 / 7256 ti = "15/14296/7256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14296/7256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14296 ÷ 215
    14296 ÷ 32768     		x = 0.436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7256 ÷ 215
    7256 ÷ 32768     		y = 0.221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221435546875 × 2 - 1) × π
    0.55712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.75027207892749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40036899} λ = -0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75027207892749))-π/2
    2×atan(5.75616859514709)-π/2
    2×1.39878642026104-π/2
    2.79757284052207-1.57079632675     		φ = 1.22677651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22677651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.289116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14296 KachelY 7256 -0.40036899 1.22677651 -22.939453 70.289116
    Oben rechts KachelX + 1 14297 KachelY 7256 -0.40017724 1.22677651 -22.928467 70.289116
    Unten links KachelX 14296 KachelY + 1 7257 -0.40036899 1.22671184 -22.939453 70.285411
    Unten rechts KachelX + 1 14297 KachelY + 1 7257 -0.40017724 1.22671184 -22.928467 70.285411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22677651-1.22671184) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dl = 412.012569999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22677651-1.22671184) × R
    6.46699999999889e-05 × 6371000     		dr = 412.012569999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40036899--0.40017724) × cos(1.22677651) × R
    0.000191749999999991 × 0.337274088579359 × 6371000     		do = 412.027264616501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40036899--0.40017724) × cos(1.22671184) × R
    0.000191749999999991 × 0.337334968632085 × 6371000     		du = 412.101638078453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22677651)-sin(1.22671184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337274088579359-0.337334968632085)×R²
    abs(-0.40017724--0.40036899)×6.08800527256981e-05×R²
    0.000191749999999991×6.08800527256981e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.08800527256981e-05×40589641000000     		ar = 169775.733664487m²