Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14296 / 2200
↖ ↑ ↗
← N 78.525573°
E134.121094°		 ← 486.04 m → N 78.525573°
E134.143067°		 →
↑
486.17 m
↓
↑
486.17 m
↓
N 78.521200°
E134.121094°		 ← 486.23 m →
236 344 m²		 N 78.521200°
E134.143067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872589111328125 y=0.134307861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872589111328125 × 214)
    floor (0.872589111328125 × 16384)
    floor (14296.5)     		tx = 14296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134307861328125 × 214)
    floor (0.134307861328125 × 16384)
    floor (2200.5)     		ty = 2200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14296 / 2200 ti = "14/14296/2200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14296/2200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14296 ÷ 214
    14296 ÷ 16384     		x = 0.87255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2200 ÷ 214
    2200 ÷ 16384     		y = 0.13427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87255859375 × 2 - 1) × π
    0.7451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34085468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29790322018701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34085468} λ = 2.34085468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29790322018701))-π/2
    2×atan(9.95329070075068)-π/2
    2×1.47066305732131-π/2
    2.94132611464262-1.57079632675     		φ = 1.37052979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34085468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37052979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.525573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14296 KachelY 2200 2.34085468 1.37052979 134.121094 78.525573
    Oben rechts KachelX + 1 14297 KachelY 2200 2.34123818 1.37052979 134.143067 78.525573
    Unten links KachelX 14296 KachelY + 1 2201 2.34085468 1.37045348 134.121094 78.521200
    Unten rechts KachelX + 1 14297 KachelY + 1 2201 2.34123818 1.37045348 134.143067 78.521200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37052979-1.37045348) × R
    7.63100000000794e-05 × 6371000     		dl = 486.171010000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37052979-1.37045348) × R
    7.63100000000794e-05 × 6371000     		dr = 486.171010000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34085468-2.34123818) × cos(1.37052979) × R
    0.00038349999999987 × 0.198930547539492 × 6371000     		do = 486.042729796303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34085468-2.34123818) × cos(1.37045348) × R
    0.00038349999999987 × 0.19900533179729 × 6371000     		du = 486.225448565521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37052979)-sin(1.37045348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198930547539492-0.19900533179729)×R²
    abs(2.34123818-2.34085468)×7.4784257798749e-05×R²
    0.00038349999999987×7.4784257798749e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.4784257798749e-05×40589641000000     		ar = 236344.301247554m²