Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14296 / 18424
↖ ↑ ↗
← N 78.066533°
W140.734863°		 ← 63.15 m → N 78.066533°
W140.732117°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.065965°
W140.734863°		 ← 63.16 m →
3 987 m²		 N 78.065965°
W140.732117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109073638916016 y=0.140567779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109073638916016 × 217)
    floor (0.109073638916016 × 131072)
    floor (14296.5)     		tx = 14296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140567779541016 × 217)
    floor (0.140567779541016 × 131072)
    floor (18424.5)     		ty = 18424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14296 / 18424 ti = "17/14296/18424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14296/18424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14296 ÷ 217
    14296 ÷ 131072     		x = 0.10906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18424 ÷ 217
    18424 ÷ 131072     		y = 0.14056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.7818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45628674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14056396484375 × 2 - 1) × π
    0.7188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25840321490009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45628674} λ = -2.45628674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25840321490009))-π/2
    2×atan(9.56779924338141)-π/2
    2×1.46665718555528-π/2
    2.93331437111056-1.57079632675     		φ = 1.36251804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45628674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36251804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.066533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14296 KachelY 18424 -2.45628674 1.36251804 -140.734863 78.066533
    Oben rechts KachelX + 1 14297 KachelY 18424 -2.45623880 1.36251804 -140.732117 78.066533
    Unten links KachelX 14296 KachelY + 1 18425 -2.45628674 1.36250813 -140.734863 78.065965
    Unten rechts KachelX + 1 14297 KachelY + 1 18425 -2.45623880 1.36250813 -140.732117 78.065965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36251804-1.36250813) × R
    9.9100000001684e-06 × 6371000     		dl = 63.1366100010728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36251804-1.36250813) × R
    9.9100000001684e-06 × 6371000     		dr = 63.1366100010728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45628674--2.45623880) × cos(1.36251804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206775702968759 × 6371000     		do = 63.1546220932119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45628674--2.45623880) × cos(1.36250813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206785398787383 × 6371000     		du = 63.1575834457901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36251804)-sin(1.36250813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206775702968759-0.206785398787383)×R²
    abs(-2.45623880--2.45628674)×9.6958186241447e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.6958186241447e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.6958186241447e-06×40589641000000     		ar = 3987.46222978589m²