Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14295 / 4443
↖ ↑ ↗
← N 78.431215°
W 22.950439°		 ← 244.98 m → N 78.431215°
W 22.939453°		 →
↑
245.03 m
↓
↑
245.03 m
↓
N 78.429011°
W 22.950439°		 ← 245.03 m →
60 033 m²		 N 78.429011°
W 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436264038085938 y=0.135604858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436264038085938 × 215)
    floor (0.436264038085938 × 32768)
    floor (14295.5)     		tx = 14295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135604858398438 × 215)
    floor (0.135604858398438 × 32768)
    floor (4443.5)     		ty = 4443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14295 / 4443 ti = "15/14295/4443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14295/4443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14295 ÷ 215
    14295 ÷ 32768     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4443 ÷ 215
    4443 ÷ 32768     		y = 0.135589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135589599609375 × 2 - 1) × π
    0.72882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28965807345236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28965807345236))-π/2
    2×atan(9.871561755016)-π/2
    2×1.46983962959107-π/2
    2.93967925918215-1.57079632675     		φ = 1.36888293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36888293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.431215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14295 KachelY 4443 -0.40056073 1.36888293 -22.950439 78.431215
    Oben rechts KachelX + 1 14296 KachelY 4443 -0.40036899 1.36888293 -22.939453 78.431215
    Unten links KachelX 14295 KachelY + 1 4444 -0.40056073 1.36884447 -22.950439 78.429011
    Unten rechts KachelX + 1 14296 KachelY + 1 4444 -0.40036899 1.36884447 -22.939453 78.429011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36888293-1.36884447) × R
    3.84600000000734e-05 × 6371000     		dl = 245.028660000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36888293-1.36884447) × R
    3.84600000000734e-05 × 6371000     		dr = 245.028660000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40036899) × cos(1.36888293) × R
    0.000191739999999996 × 0.200544222226872 × 6371000     		do = 244.979916560665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40036899) × cos(1.36884447) × R
    0.000191739999999996 × 0.200581900750211 × 6371000     		du = 245.02594372316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36888293)-sin(1.36884447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200544222226872-0.200581900750211)×R²
    abs(-0.40036899--0.40056073)×3.7678523339274e-05×R²
    0.000191739999999996×3.7678523339274e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.7678523339274e-05×40589641000000     		ar = 60032.7396761294m²