Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14295 / 2249
↖ ↑ ↗
← N 78.309408°
E134.099121°		 ← 495.06 m → N 78.309408°
E134.121094°		 →
↑
495.15 m
↓
↑
495.15 m
↓
N 78.304955°
E134.099121°		 ← 495.25 m →
245 177 m²		 N 78.304955°
E134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872528076171875 y=0.137298583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872528076171875 × 214)
    floor (0.872528076171875 × 16384)
    floor (14295.5)     		tx = 14295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137298583984375 × 214)
    floor (0.137298583984375 × 16384)
    floor (2249.5)     		ty = 2249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14295 / 2249 ti = "14/14295/2249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14295/2249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14295 ÷ 214
    14295 ÷ 16384     		x = 0.87249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2249 ÷ 214
    2249 ÷ 16384     		y = 0.13726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87249755859375 × 2 - 1) × π
    0.7449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34047119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13726806640625 × 2 - 1) × π
    0.7254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27911195553595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34047119} λ = 2.34047119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27911195553595))-π/2
    2×atan(9.7680021365309)-π/2
    2×1.46877666715129-π/2
    2.93755333430258-1.57079632675     		φ = 1.36675701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34047119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36675701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.309408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14295 KachelY 2249 2.34047119 1.36675701 134.099121 78.309408
    Oben rechts KachelX + 1 14296 KachelY 2249 2.34085468 1.36675701 134.121094 78.309408
    Unten links KachelX 14295 KachelY + 1 2250 2.34047119 1.36667929 134.099121 78.304955
    Unten rechts KachelX + 1 14296 KachelY + 1 2250 2.34085468 1.36667929 134.121094 78.304955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36675701-1.36667929) × R
    7.77199999999478e-05 × 6371000     		dl = 495.154119999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36675701-1.36667929) × R
    7.77199999999478e-05 × 6371000     		dr = 495.154119999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34047119-2.34085468) × cos(1.36675701) × R
    0.000383489999999931 × 0.202626498667552 × 6371000     		do = 495.06005839039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34047119-2.34085468) × cos(1.36667929) × R
    0.000383489999999931 × 0.202702605839304 × 6371000     		du = 495.246004558038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36675701)-sin(1.36667929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202626498667552-0.202702605839304)×R²
    abs(2.34085468-2.34047119)×7.61071717512718e-05×R²
    0.000383489999999931×7.61071717512718e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.61071717512718e-05×40589641000000     		ar = 245177.06368869m²