Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14293 / 4419
↖ ↑ ↗
← N 78.483974°
W 22.972412°		 ← 243.89 m → N 78.483974°
W 22.961426°		 →
↑
243.95 m
↓
↑
243.95 m
↓
N 78.481780°
W 22.972412°		 ← 243.94 m →
59 502 m²		 N 78.481780°
W 22.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436203002929688 y=0.134872436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436203002929688 × 215)
    floor (0.436203002929688 × 32768)
    floor (14293.5)     		tx = 14293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134872436523438 × 215)
    floor (0.134872436523438 × 32768)
    floor (4419.5)     		ty = 4419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14293 / 4419 ti = "15/14293/4419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14293/4419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14293 ÷ 215
    14293 ÷ 32768     		x = 0.436187744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4419 ÷ 215
    4419 ÷ 32768     		y = 0.134857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40094423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134857177734375 × 2 - 1) × π
    0.73028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29426001581589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40094423} λ = -0.40094423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29426001581589))-π/2
    2×atan(9.91709480312435)-π/2
    2×1.47030003735335-π/2
    2.94060007470669-1.57079632675     		φ = 1.36980375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40094423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36980375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.483974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14293 KachelY 4419 -0.40094423 1.36980375 -22.972412 78.483974
    Oben rechts KachelX + 1 14294 KachelY 4419 -0.40075248 1.36980375 -22.961426 78.483974
    Unten links KachelX 14293 KachelY + 1 4420 -0.40094423 1.36976546 -22.972412 78.481780
    Unten rechts KachelX + 1 14294 KachelY + 1 4420 -0.40075248 1.36976546 -22.961426 78.481780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36980375-1.36976546) × R
    3.82899999999964e-05 × 6371000     		dl = 243.945589999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36980375-1.36976546) × R
    3.82899999999964e-05 × 6371000     		dr = 243.945589999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40094423--0.40075248) × cos(1.36980375) × R
    0.000191749999999991 × 0.199642024112579 × 6371000     		do = 243.89053260536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40094423--0.40075248) × cos(1.36976546) × R
    0.000191749999999991 × 0.19967954314642 × 6371000     		du = 243.936367329724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36980375)-sin(1.36976546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199642024112579-0.19967954314642)×R²
    abs(-0.40075248--0.40094423)×3.75190338418041e-05×R²
    0.000191749999999991×3.75190338418041e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.75190338418041e-05×40589641000000     		ar = 59501.6104689014m²