Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14293 / 18436
↖ ↑ ↗
← N 78.059716°
W140.743103°		 ← 63.19 m → N 78.059716°
W140.740356°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.059148°
W140.743103°		 ← 63.19 m →
3 990 m²		 N 78.059148°
W140.740356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109050750732422 y=0.140659332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109050750732422 × 217)
    floor (0.109050750732422 × 131072)
    floor (14293.5)     		tx = 14293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140659332275391 × 217)
    floor (0.140659332275391 × 131072)
    floor (18436.5)     		ty = 18436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14293 / 18436 ti = "17/14293/18436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14293/18436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14293 ÷ 217
    14293 ÷ 131072     		x = 0.109046936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18436 ÷ 217
    18436 ÷ 131072     		y = 0.140655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109046936035156 × 2 - 1) × π
    -0.781906127929688 × 3.1415926535     		Λ = -2.45643055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140655517578125 × 2 - 1) × π
    0.71868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25782797210465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45643055} λ = -2.45643055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25782797210465))-π/2
    2×atan(9.56229701850777)-π/2
    2×1.46659769570073-π/2
    2.93319539140147-1.57079632675     		φ = 1.36239906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45643055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.743103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36239906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.059716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14293 KachelY 18436 -2.45643055 1.36239906 -140.743103 78.059716
    Oben rechts KachelX + 1 14294 KachelY 18436 -2.45638261 1.36239906 -140.740356 78.059716
    Unten links KachelX 14293 KachelY + 1 18437 -2.45643055 1.36238915 -140.743103 78.059148
    Unten rechts KachelX + 1 14294 KachelY + 1 18437 -2.45638261 1.36238915 -140.740356 78.059148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36239906-1.36238915) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dl = 63.1366099996582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36239906-1.36238915) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dr = 63.1366099996582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45643055--2.45638261) × cos(1.36239906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206892110153535 × 6371000     		do = 63.1901758437635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45643055--2.45638261) × cos(1.36238915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206901805728277 × 6371000     		du = 63.1931371218538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36239906)-sin(1.36238915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206892110153535-0.206901805728277)×R²
    abs(-2.45638261--2.45643055)×9.69557474203575e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.69557474203575e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.69557474203575e-06×40589641000000     		ar = 3989.70697051153m²