Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14292 / 4426
↖ ↑ ↗
← N 78.468610°
W 22.983399°		 ← 244.21 m → N 78.468610°
W 22.972412°		 →
↑
244.26 m
↓
↑
244.26 m
↓
N 78.466414°
W 22.983399°		 ← 244.26 m →
59 658 m²		 N 78.466414°
W 22.972412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436172485351562 y=0.135086059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436172485351562 × 215)
    floor (0.436172485351562 × 32768)
    floor (14292.5)     		tx = 14292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135086059570312 × 215)
    floor (0.135086059570312 × 32768)
    floor (4426.5)     		ty = 4426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14292 / 4426 ti = "15/14292/4426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14292/4426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14292 ÷ 215
    14292 ÷ 32768     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4426 ÷ 215
    4426 ÷ 32768     		y = 0.13507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13507080078125 × 2 - 1) × π
    0.7298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29291778262653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29291778262653))-π/2
    2×atan(9.90379267861113)-π/2
    2×1.47016596613145-π/2
    2.9403319322629-1.57079632675     		φ = 1.36953561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36953561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.468610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14292 KachelY 4426 -0.40113598 1.36953561 -22.983399 78.468610
    Oben rechts KachelX + 1 14293 KachelY 4426 -0.40094423 1.36953561 -22.972412 78.468610
    Unten links KachelX 14292 KachelY + 1 4427 -0.40113598 1.36949727 -22.983399 78.466414
    Unten rechts KachelX + 1 14293 KachelY + 1 4427 -0.40094423 1.36949727 -22.972412 78.466414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36953561-1.36949727) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dl = 244.264139999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36953561-1.36949727) × R
    3.83399999999146e-05 × 6371000     		dr = 244.264139999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40094423) × cos(1.36953561) × R
    0.000191749999999991 × 0.199904758979379 × 6371000     		do = 244.211499830987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40094423) × cos(1.36949727) × R
    0.000191749999999991 × 0.199942324952322 × 6371000     		du = 244.257391897999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36953561)-sin(1.36949727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199904758979379-0.199942324952322)×R²
    abs(-0.40094423--0.40113598)×3.75659729432432e-05×R²
    0.000191749999999991×3.75659729432432e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.75659729432432e-05×40589641000000     		ar = 59657.7168842177m²