Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14292 / 2259
↖ ↑ ↗
← N 78.264802°
E134.033203°		 ← 496.94 m → N 78.264802°
E134.055176°		 →
↑
497 m
↓
↑
497 m
↓
N 78.260332°
E134.033203°		 ← 497.12 m →
247 024 m²		 N 78.260332°
E134.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872344970703125 y=0.137908935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872344970703125 × 214)
    floor (0.872344970703125 × 16384)
    floor (14292.5)     		tx = 14292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137908935546875 × 214)
    floor (0.137908935546875 × 16384)
    floor (2259.5)     		ty = 2259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14292 / 2259 ti = "14/14292/2259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14292/2259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14292 ÷ 214
    14292 ÷ 16384     		x = 0.872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2259 ÷ 214
    2259 ÷ 16384     		y = 0.13787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872314453125 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13787841796875 × 2 - 1) × π
    0.7242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27527700356635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33932070} λ = 2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27527700356635))-π/2
    2×atan(9.7306140540703)-π/2
    2×1.46838740528119-π/2
    2.93677481056238-1.57079632675     		φ = 1.36597848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36597848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.264802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14292 KachelY 2259 2.33932070 1.36597848 134.033203 78.264802
    Oben rechts KachelX + 1 14293 KachelY 2259 2.33970420 1.36597848 134.055176 78.264802
    Unten links KachelX 14292 KachelY + 1 2260 2.33932070 1.36590047 134.033203 78.260332
    Unten rechts KachelX + 1 14293 KachelY + 1 2260 2.33970420 1.36590047 134.055176 78.260332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36597848-1.36590047) × R
    7.80100000001838e-05 × 6371000     		dl = 497.001710001171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36597848-1.36590047) × R
    7.80100000001838e-05 × 6371000     		dr = 497.001710001171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33932070-2.33970420) × cos(1.36597848) × R
    0.00038349999999987 × 0.203388817432284 × 6371000     		do = 496.935524772557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33932070-2.33970420) × cos(1.36590047) × R
    0.00038349999999987 × 0.203465196252118 × 6371000     		du = 497.122139500911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36597848)-sin(1.36590047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203388817432284-0.203465196252118)×R²
    abs(2.33970420-2.33932070)×7.63788198333837e-05×R²
    0.00038349999999987×7.63788198333837e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.63788198333837e-05×40589641000000     		ar = 247024.179617662m²