Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14292 / 11324
↖ ↑ ↗
← N 48.487487°
W 22.983399°		 ← 809.68 m → N 48.487487°
W 22.972412°		 →
↑
809.75 m
↓
↑
809.75 m
↓
N 48.480204°
W 22.983399°		 ← 809.80 m →
655 691 m²		 N 48.480204°
W 22.972412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436172485351562 y=0.345596313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436172485351562 × 215)
    floor (0.436172485351562 × 32768)
    floor (14292.5)     		tx = 14292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345596313476562 × 215)
    floor (0.345596313476562 × 32768)
    floor (11324.5)     		ty = 11324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14292 / 11324 ti = "15/14292/11324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14292/11324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14292 ÷ 215
    14292 ÷ 32768     		x = 0.4361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11324 ÷ 215
    11324 ÷ 32768     		y = 0.3455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    0.308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40113598} λ = -0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970242848309937))-π/2
    2×atan(2.6385851575009)-π/2
    2×1.20853130593336-π/2
    2.41706261186673-1.57079632675     		φ = 0.84626629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84626629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.487487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14292 KachelY 11324 -0.40113598 0.84626629 -22.983399 48.487487
    Oben rechts KachelX + 1 14293 KachelY 11324 -0.40094423 0.84626629 -22.972412 48.487487
    Unten links KachelX 14292 KachelY + 1 11325 -0.40113598 0.84613919 -22.983399 48.480204
    Unten rechts KachelX + 1 14293 KachelY + 1 11325 -0.40094423 0.84613919 -22.972412 48.480204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84626629-0.84613919) × R
    0.000127099999999936 × 6371000     		dl = 809.75409999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84626629-0.84613919) × R
    0.000127099999999936 × 6371000     		dr = 809.75409999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40113598--0.40094423) × cos(0.84626629) × R
    0.000191749999999991 × 0.662783602257093 × 6371000     		do = 809.682462773613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40113598--0.40094423) × cos(0.84613919) × R
    0.000191749999999991 × 0.662878770780042 × 6371000     		du = 809.798724376613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84626629)-sin(0.84613919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662783602257093-0.662878770780042)×R²
    abs(-0.40094423--0.40113598)×9.51685229498844e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51685229498844e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51685229498844e-05×40589641000000     		ar = 655690.766466102m²