Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14290 / 7472
↖ ↑ ↗
← N 69.472968°
W 23.005371°		 ← 428.37 m → N 69.472968°
W 22.994385°		 →
↑
428.39 m
↓
↑
428.39 m
↓
N 69.469116°
W 23.005371°		 ← 428.44 m →
183 523 m²		 N 69.469116°
W 22.994385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436111450195312 y=0.228042602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436111450195312 × 215)
    floor (0.436111450195312 × 32768)
    floor (14290.5)     		tx = 14290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228042602539062 × 215)
    floor (0.228042602539062 × 32768)
    floor (7472.5)     		ty = 7472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14290 / 7472 ti = "15/14290/7472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14290/7472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14290 ÷ 215
    14290 ÷ 32768     		x = 0.43609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7472 ÷ 215
    7472 ÷ 32768     		y = 0.22802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22802734375 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70885459765576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40151947} λ = -0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70885459765576))-π/2
    2×atan(5.52263221765291)-π/2
    2×1.39166418447987-π/2
    2.78332836895974-1.57079632675     		φ = 1.21253204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21253204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.472968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14290 KachelY 7472 -0.40151947 1.21253204 -23.005371 69.472968
    Oben rechts KachelX + 1 14291 KachelY 7472 -0.40132772 1.21253204 -22.994385 69.472968
    Unten links KachelX 14290 KachelY + 1 7473 -0.40151947 1.21246480 -23.005371 69.469116
    Unten rechts KachelX + 1 14291 KachelY + 1 7473 -0.40132772 1.21246480 -22.994385 69.469116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21253204-1.21246480) × R
    6.72399999999129e-05 × 6371000     		dl = 428.386039999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21253204-1.21246480) × R
    6.72399999999129e-05 × 6371000     		dr = 428.386039999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40151947--0.40132772) × cos(1.21253204) × R
    0.000191749999999991 × 0.350649254967064 × 6371000     		do = 428.366892851002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40151947--0.40132772) × cos(1.21246480) × R
    0.000191749999999991 × 0.350712224895644 × 6371000     		du = 428.443819387325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21253204)-sin(1.21246480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350649254967064-0.350712224895644)×R²
    abs(-0.40132772--0.40151947)×6.29699285799035e-05×R²
    0.000191749999999991×6.29699285799035e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.29699285799035e-05×40589641000000     		ar = 183522.874090871m²