Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14290 / 18226
↖ ↑ ↗
← N 78.178462°
W140.751343°		 ← 62.57 m → N 78.178462°
W140.748596°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.177900°
W140.751343°		 ← 62.57 m →
3 915 m²		 N 78.177900°
W140.748596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109027862548828 y=0.139057159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109027862548828 × 217)
    floor (0.109027862548828 × 131072)
    floor (14290.5)     		tx = 14290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139057159423828 × 217)
    floor (0.139057159423828 × 131072)
    floor (18226.5)     		ty = 18226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14290 / 18226 ti = "17/14290/18226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14290/18226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14290 ÷ 217
    14290 ÷ 131072     		x = 0.109024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18226 ÷ 217
    18226 ÷ 131072     		y = 0.139053344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109024047851562 × 2 - 1) × π
    -0.781951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45657436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139053344726562 × 2 - 1) × π
    0.721893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26789472102486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45657436} λ = -2.45657436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26789472102486))-π/2
    2×atan(9.65904441051983)-π/2
    2×1.46763394901785-π/2
    2.9352678980357-1.57079632675     		φ = 1.36447157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45657436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36447157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.178462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14290 KachelY 18226 -2.45657436 1.36447157 -140.751343 78.178462
    Oben rechts KachelX + 1 14291 KachelY 18226 -2.45652642 1.36447157 -140.748596 78.178462
    Unten links KachelX 14290 KachelY + 1 18227 -2.45657436 1.36446175 -140.751343 78.177900
    Unten rechts KachelX + 1 14291 KachelY + 1 18227 -2.45652642 1.36446175 -140.748596 78.177900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36447157-1.36446175) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dl = 62.5632200003137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36447157-1.36446175) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dr = 62.5632200003137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45657436--2.45652642) × cos(1.36447157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204863998589086 × 6371000     		do = 62.5707383683896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45657436--2.45652642) × cos(1.36446175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204873610301413 × 6371000     		du = 62.5736740327396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36447157)-sin(1.36446175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204863998589086-0.204873610301413)×R²
    abs(-2.45652642--2.45657436)×9.61171232641278e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.61171232641278e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.61171232641278e-06×40589641000000     		ar = 3914.71870251933m²