Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14289 / 2196
↖ ↑ ↗
← N 78.543043°
E133.967285°		 ← 485.30 m → N 78.543043°
E133.989258°		 →
↑
485.34 m
↓
↑
485.34 m
↓
N 78.538679°
E133.967285°		 ← 485.48 m →
235 581 m²		 N 78.538679°
E133.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872161865234375 y=0.134063720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872161865234375 × 214)
    floor (0.872161865234375 × 16384)
    floor (14289.5)     		tx = 14289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134063720703125 × 214)
    floor (0.134063720703125 × 16384)
    floor (2196.5)     		ty = 2196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14289 / 2196 ti = "14/14289/2196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14289/2196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14289 ÷ 214
    14289 ÷ 16384     		x = 0.87213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2196 ÷ 214
    2196 ÷ 16384     		y = 0.134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87213134765625 × 2 - 1) × π
    0.7442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33817022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134033203125 × 2 - 1) × π
    0.73193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29943720097485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33817022} λ = 2.33817022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29943720097485))-π/2
    2×atan(9.96857057398118)-π/2
    2×1.47081552051023-π/2
    2.94163104102047-1.57079632675     		φ = 1.37083471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33817022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37083471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.543043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14289 KachelY 2196 2.33817022 1.37083471 133.967285 78.543043
    Oben rechts KachelX + 1 14290 KachelY 2196 2.33855371 1.37083471 133.989258 78.543043
    Unten links KachelX 14289 KachelY + 1 2197 2.33817022 1.37075853 133.967285 78.538679
    Unten rechts KachelX + 1 14290 KachelY + 1 2197 2.33855371 1.37075853 133.989258 78.538679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37083471-1.37075853) × R
    7.61799999999813e-05 × 6371000     		dl = 485.342779999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37083471-1.37075853) × R
    7.61799999999813e-05 × 6371000     		dr = 485.342779999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33817022-2.33855371) × cos(1.37083471) × R
    0.000383489999999931 × 0.198631712552251 × 6371000     		do = 485.299937870602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33817022-2.33855371) × cos(1.37075853) × R
    0.000383489999999931 × 0.198706374028571 × 6371000     		du = 485.482351893788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37083471)-sin(1.37075853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198631712552251-0.198706374028571)×R²
    abs(2.33855371-2.33817022)×7.46614763194042e-05×R²
    0.000383489999999931×7.46614763194042e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.46614763194042e-05×40589641000000     		ar = 235581.087758327m²