Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14289 / 18417
↖ ↑ ↗
← N 78.070508°
W140.754089°		 ← 63.12 m → N 78.070508°
W140.751343°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.069941°
W140.754089°		 ← 63.12 m →
3 985 m²		 N 78.069941°
W140.751343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109020233154297 y=0.140514373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109020233154297 × 217)
    floor (0.109020233154297 × 131072)
    floor (14289.5)     		tx = 14289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140514373779297 × 217)
    floor (0.140514373779297 × 131072)
    floor (18417.5)     		ty = 18417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14289 / 18417 ti = "17/14289/18417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14289/18417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14289 ÷ 217
    14289 ÷ 131072     		x = 0.109016418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18417 ÷ 217
    18417 ÷ 131072     		y = 0.140510559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109016418457031 × 2 - 1) × π
    -0.781967163085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.45662229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140510559082031 × 2 - 1) × π
    0.718978881835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.25873877319743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45662229} λ = -2.45662229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25873877319743))-π/2
    2×atan(9.57101033652916)-π/2
    2×1.46669187251167-π/2
    2.93338374502334-1.57079632675     		φ = 1.36258742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45662229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.754089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36258742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.070508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14289 KachelY 18417 -2.45662229 1.36258742 -140.754089 78.070508
    Oben rechts KachelX + 1 14290 KachelY 18417 -2.45657436 1.36258742 -140.751343 78.070508
    Unten links KachelX 14289 KachelY + 1 18418 -2.45662229 1.36257751 -140.754089 78.069941
    Unten rechts KachelX + 1 14290 KachelY + 1 18418 -2.45657436 1.36257751 -140.751343 78.069941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36258742-1.36257751) × R
    9.9100000001684e-06 × 6371000     		dl = 63.1366100010728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36258742-1.36257751) × R
    9.9100000001684e-06 × 6371000     		dr = 63.1366100010728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45662229--2.45657436) × cos(1.36258742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20670782188582 × 6371000     		do = 63.120720107971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45662229--2.45657436) × cos(1.36257751) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206717517846594 × 6371000     		du = 63.1236808862357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36258742)-sin(1.36257751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20670782188582-0.206717517846594)×R²
    abs(-2.45657436--2.45662229)×9.6959607739644e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.6959607739644e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.6959607739644e-06×40589641000000     		ar = 3985.32175532022m²