Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14289 / 18320
↖ ↑ ↗
← N 78.125454°
W140.754089°		 ← 62.83 m → N 78.125454°
W140.751343°		 →
↑
62.82 m
↓
↑
62.82 m
↓
N 78.124889°
W140.754089°		 ← 62.84 m →
3 947 m²		 N 78.124889°
W140.751343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109020233154297 y=0.139774322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109020233154297 × 217)
    floor (0.109020233154297 × 131072)
    floor (14289.5)     		tx = 14289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139774322509766 × 217)
    floor (0.139774322509766 × 131072)
    floor (18320.5)     		ty = 18320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14289 / 18320 ti = "17/14289/18320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14289/18320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14289 ÷ 217
    14289 ÷ 131072     		x = 0.109016418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18320 ÷ 217
    18320 ÷ 131072     		y = 0.1397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109016418457031 × 2 - 1) × π
    -0.781967163085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.45662229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1397705078125 × 2 - 1) × π
    0.720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26338865246057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45662229} λ = -2.45662229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26338865246057))-π/2
    2×atan(9.61561800879221)-π/2
    2×1.46717136410958-π/2
    2.93434272821917-1.57079632675     		φ = 1.36354640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45662229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.754089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36354640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.125454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14289 KachelY 18320 -2.45662229 1.36354640 -140.754089 78.125454
    Oben rechts KachelX + 1 14290 KachelY 18320 -2.45657436 1.36354640 -140.751343 78.125454
    Unten links KachelX 14289 KachelY + 1 18321 -2.45662229 1.36353654 -140.754089 78.124889
    Unten rechts KachelX + 1 14290 KachelY + 1 18321 -2.45657436 1.36353654 -140.751343 78.124889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36354640-1.36353654) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dl = 62.8180600001795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36354640-1.36353654) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dr = 62.8180600001795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45662229--2.45657436) × cos(1.36354640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205769458343555 × 6371000     		do = 62.8341795118269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45662229--2.45657436) × cos(1.36353654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205779107334439 × 6371000     		du = 62.8371259472708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36354640)-sin(1.36353654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205769458343555-0.205779107334439)×R²
    abs(-2.45657436--2.45662229)×9.64899088420901e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.64899088420901e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.64899088420901e-06×40589641000000     		ar = 3947.2138033173m²