Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14289 / 11215
↖ ↑ ↗
← N 49.274973°
W 23.016357°		 ← 797.03 m → N 49.274973°
W 23.005371°		 →
↑
797.14 m
↓
↑
797.14 m
↓
N 49.267804°
W 23.016357°		 ← 797.15 m →
635 393 m²		 N 49.267804°
W 23.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436080932617188 y=0.342269897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436080932617188 × 215)
    floor (0.436080932617188 × 32768)
    floor (14289.5)     		tx = 14289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342269897460938 × 215)
    floor (0.342269897460938 × 32768)
    floor (11215.5)     		ty = 11215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14289 / 11215 ti = "15/14289/11215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14289/11215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14289 ÷ 215
    14289 ÷ 32768     		x = 0.436065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11215 ÷ 215
    11215 ÷ 32768     		y = 0.342254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.12786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40171122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342254638671875 × 2 - 1) × π
    0.31549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.991143336544281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40171122} λ = -0.40171122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991143336544281))-π/2
    2×atan(2.69431321875698)-π/2
    2×1.21540342114673-π/2
    2.43080684229345-1.57079632675     		φ = 0.86001052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40171122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.016357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86001052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.274973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14289 KachelY 11215 -0.40171122 0.86001052 -23.016357 49.274973
    Oben rechts KachelX + 1 14290 KachelY 11215 -0.40151947 0.86001052 -23.005371 49.274973
    Unten links KachelX 14289 KachelY + 1 11216 -0.40171122 0.85988540 -23.016357 49.267804
    Unten rechts KachelX + 1 14290 KachelY + 1 11216 -0.40151947 0.85988540 -23.005371 49.267804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86001052-0.85988540) × R
    0.000125119999999979 × 6371000     		dl = 797.139519999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86001052-0.85988540) × R
    0.000125119999999979 × 6371000     		dr = 797.139519999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40171122--0.40151947) × cos(0.86001052) × R
    0.000191749999999991 × 0.652429495624188 × 6371000     		do = 797.033479712171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40171122--0.40151947) × cos(0.85988540) × R
    0.000191749999999991 × 0.652524312637287 × 6371000     		du = 797.149311896941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86001052)-sin(0.85988540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652429495624188-0.652524312637287)×R²
    abs(-0.40151947--0.40171122)×9.48170130991022e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48170130991022e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48170130991022e-05×40589641000000     		ar = 635393.053476513m²