Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14288 / 2256
↖ ↑ ↗
← N 78.278202°
E133.945312°		 ← 496.38 m → N 78.278202°
E133.967285°		 →
↑
496.49 m
↓
↑
496.49 m
↓
N 78.273737°
E133.945312°		 ← 496.56 m →
246 493 m²		 N 78.273737°
E133.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872100830078125 y=0.137725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872100830078125 × 214)
    floor (0.872100830078125 × 16384)
    floor (14288.5)     		tx = 14288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137725830078125 × 214)
    floor (0.137725830078125 × 16384)
    floor (2256.5)     		ty = 2256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14288 / 2256 ti = "14/14288/2256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14288/2256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14288 ÷ 214
    14288 ÷ 16384     		x = 0.8720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2256 ÷ 214
    2256 ÷ 16384     		y = 0.1376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8720703125 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33778672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    0.724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27642748915723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33778672} λ = 2.33778672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27642748915723))-π/2
    2×atan(9.74181542760384)-π/2
    2×1.46850433735916-π/2
    2.93700867471832-1.57079632675     		φ = 1.36621235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33778672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36621235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.278202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14288 KachelY 2256 2.33778672 1.36621235 133.945312 78.278202
    Oben rechts KachelX + 1 14289 KachelY 2256 2.33817022 1.36621235 133.967285 78.278202
    Unten links KachelX 14288 KachelY + 1 2257 2.33778672 1.36613442 133.945312 78.273737
    Unten rechts KachelX + 1 14289 KachelY + 1 2257 2.33817022 1.36613442 133.967285 78.273737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36621235-1.36613442) × R
    7.79300000000038e-05 × 6371000     		dl = 496.492030000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36621235-1.36613442) × R
    7.79300000000038e-05 × 6371000     		dr = 496.492030000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33778672-2.33817022) × cos(1.36621235) × R
    0.00038349999999987 × 0.203159830211532 × 6371000     		do = 496.376045219317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33778672-2.33817022) × cos(1.36613442) × R
    0.00038349999999987 × 0.203236134410259 × 6371000     		du = 496.562477627528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36621235)-sin(1.36613442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203159830211532-0.203236134410259)×R²
    abs(2.33817022-2.33778672)×7.63041987275337e-05×R²
    0.00038349999999987×7.63041987275337e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.63041987275337e-05×40589641000000     		ar = 246493.03156091m²