Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14288 / 20285
↖ ↑ ↗
← S 39.342794°
W 23.027344°		 ← 944.78 m → S 39.342794°
W 23.016357°		 →
↑
944.69 m
↓
↑
944.69 m
↓
S 39.351290°
W 23.027344°		 ← 944.66 m →
892 467 m²		 S 39.351290°
W 23.016357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436050415039062 y=0.619064331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436050415039062 × 215)
    floor (0.436050415039062 × 32768)
    floor (14288.5)     		tx = 14288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619064331054688 × 215)
    floor (0.619064331054688 × 32768)
    floor (20285.5)     		ty = 20285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14288 / 20285 ti = "15/14288/20285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14288/20285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14288 ÷ 215
    14288 ÷ 32768     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20285 ÷ 215
    20285 ÷ 32768     		y = 0.619049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.23809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748007381671356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748007381671356))-π/2
    2×atan(0.473308737387295)-π/2
    2×0.442067513719998-π/2
    0.884135027439996-1.57079632675     		φ = -0.68666130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68666130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.342794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14288 KachelY 20285 -0.40190297 -0.68666130 -23.027344 -39.342794
    Oben rechts KachelX + 1 14289 KachelY 20285 -0.40171122 -0.68666130 -23.016357 -39.342794
    Unten links KachelX 14288 KachelY + 1 20286 -0.40190297 -0.68680958 -23.027344 -39.351290
    Unten rechts KachelX + 1 14289 KachelY + 1 20286 -0.40171122 -0.68680958 -23.016357 -39.351290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68666130--0.68680958) × R
    0.000148280000000001 × 6371000     		dl = 944.691880000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68666130--0.68680958) × R
    0.000148280000000001 × 6371000     		dr = 944.691880000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40171122) × cos(-0.68666130) × R
    0.000191750000000046 × 0.773366919235212 × 6371000     		do = 944.775383189541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40171122) × cos(-0.68680958) × R
    0.000191750000000046 × 0.773272907340459 × 6371000     		du = 944.660534568945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68666130)-sin(-0.68680958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773366919235212-0.773272907340459)×R²
    abs(-0.40171122--0.40190297)×9.40118947524438e-05×R²
    0.000191750000000046×9.40118947524438e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.40118947524438e-05×40589641000000     		ar = 892467.386278987m²