Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14287 / 7437
↖ ↑ ↗
← N 69.607378°
W 23.038330°		 ← 425.66 m → N 69.607378°
W 23.027344°		 →
↑
425.77 m
↓
↑
425.77 m
↓
N 69.603549°
W 23.038330°		 ← 425.74 m →
181 251 m²		 N 69.603549°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436019897460938 y=0.226974487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436019897460938 × 215)
    floor (0.436019897460938 × 32768)
    floor (14287.5)     		tx = 14287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226974487304688 × 215)
    floor (0.226974487304688 × 32768)
    floor (7437.5)     		ty = 7437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14287 / 7437 ti = "15/14287/7437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14287/7437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14287 ÷ 215
    14287 ÷ 32768     		x = 0.436004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7437 ÷ 215
    7437 ÷ 32768     		y = 0.226959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.12799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40209471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226959228515625 × 2 - 1) × π
    0.54608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71556576360257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40209471} λ = -0.40209471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71556576360257))-π/2
    2×atan(5.55982016659918)-π/2
    2×1.39283712620024-π/2
    2.78567425240049-1.57079632675     		φ = 1.21487793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40209471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.038330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21487793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.607378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14287 KachelY 7437 -0.40209471 1.21487793 -23.038330 69.607378
    Oben rechts KachelX + 1 14288 KachelY 7437 -0.40190297 1.21487793 -23.027344 69.607378
    Unten links KachelX 14287 KachelY + 1 7438 -0.40209471 1.21481110 -23.038330 69.603549
    Unten rechts KachelX + 1 14288 KachelY + 1 7438 -0.40190297 1.21481110 -23.027344 69.603549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21487793-1.21481110) × R
    6.68300000001842e-05 × 6371000     		dl = 425.773930001174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21487793-1.21481110) × R
    6.68300000001842e-05 × 6371000     		dr = 425.773930001174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40209471--0.40190297) × cos(1.21487793) × R
    0.000191739999999996 × 0.348451350056807 × 6371000     		do = 425.659646109364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40209471--0.40190297) × cos(1.21481110) × R
    0.000191739999999996 × 0.348513990833184 × 6371000     		du = 425.736166549593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21487793)-sin(1.21481110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348451350056807-0.348513990833184)×R²
    abs(-0.40190297--0.40209471)×6.26407763771319e-05×R²
    0.000191739999999996×6.26407763771319e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.26407763771319e-05×40589641000000     		ar = 181251.070638436m²