Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14287 / 2350
↖ ↑ ↗
← N 77.851100°
E133.923340°		 ← 514.18 m → N 77.851100°
E133.945312°		 →
↑
514.33 m
↓
↑
514.33 m
↓
N 77.846474°
E133.923340°		 ← 514.37 m →
264 509 m²		 N 77.846474°
E133.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872039794921875 y=0.143463134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872039794921875 × 214)
    floor (0.872039794921875 × 16384)
    floor (14287.5)     		tx = 14287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143463134765625 × 214)
    floor (0.143463134765625 × 16384)
    floor (2350.5)     		ty = 2350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14287 / 2350 ti = "14/14287/2350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14287/2350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14287 ÷ 214
    14287 ÷ 16384     		x = 0.87200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2350 ÷ 214
    2350 ÷ 16384     		y = 0.1434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87200927734375 × 2 - 1) × π
    0.7440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33740323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1434326171875 × 2 - 1) × π
    0.713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24037894064294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33740323} λ = 2.33740323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24037894064294))-π/2
    2×atan(9.39689147694788)-π/2
    2×1.46477717091083-π/2
    2.92955434182166-1.57079632675     		φ = 1.35875802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33740323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35875802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.851100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14287 KachelY 2350 2.33740323 1.35875802 133.923340 77.851100
    Oben rechts KachelX + 1 14288 KachelY 2350 2.33778672 1.35875802 133.945312 77.851100
    Unten links KachelX 14287 KachelY + 1 2351 2.33740323 1.35867729 133.923340 77.846474
    Unten rechts KachelX + 1 14288 KachelY + 1 2351 2.33778672 1.35867729 133.945312 77.846474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35875802-1.35867729) × R
    8.07300000000843e-05 × 6371000     		dl = 514.330830000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35875802-1.35867729) × R
    8.07300000000843e-05 × 6371000     		dr = 514.330830000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33740323-2.33778672) × cos(1.35875802) × R
    0.000383489999999931 × 0.210452992481326 × 6371000     		do = 514.181863830041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33740323-2.33778672) × cos(1.35867729) × R
    0.000383489999999931 × 0.210531913764594 × 6371000     		du = 514.374685476569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35875802)-sin(1.35867729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210452992481326-0.210531913764594)×R²
    abs(2.33778672-2.33740323)×7.89212832685571e-05×R²
    0.000383489999999931×7.89212832685571e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.89212832685571e-05×40589641000000     		ar = 264509.171997437m²