Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14287 / 18421
↖ ↑ ↗
← N 78.068237°
W140.759583°		 ← 63.15 m → N 78.068237°
W140.756836°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.067669°
W140.759583°		 ← 63.15 m →
3 987 m²		 N 78.067669°
W140.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109004974365234 y=0.140544891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109004974365234 × 217)
    floor (0.109004974365234 × 131072)
    floor (14287.5)     		tx = 14287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140544891357422 × 217)
    floor (0.140544891357422 × 131072)
    floor (18421.5)     		ty = 18421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14287 / 18421 ti = "17/14287/18421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14287/18421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14287 ÷ 217
    14287 ÷ 131072     		x = 0.109001159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18421 ÷ 217
    18421 ÷ 131072     		y = 0.140541076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109001159667969 × 2 - 1) × π
    -0.781997680664062 × 3.1415926535     		Λ = -2.45671817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140541076660156 × 2 - 1) × π
    0.718917846679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.25854702559895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45671817} λ = -2.45671817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25854702559895))-π/2
    2×atan(9.5691752942202)-π/2
    2×1.4666720527882-π/2
    2.93334410557639-1.57079632675     		φ = 1.36254778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45671817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.759583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36254778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.068237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14287 KachelY 18421 -2.45671817 1.36254778 -140.759583 78.068237
    Oben rechts KachelX + 1 14288 KachelY 18421 -2.45667023 1.36254778 -140.756836 78.068237
    Unten links KachelX 14287 KachelY + 1 18422 -2.45671817 1.36253787 -140.759583 78.067669
    Unten rechts KachelX + 1 14288 KachelY + 1 18422 -2.45667023 1.36253787 -140.756836 78.067669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36254778-1.36253787) × R
    9.9100000001684e-06 × 6371000     		dl = 63.1366100010728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36254778-1.36253787) × R
    9.9100000001684e-06 × 6371000     		dr = 63.1366100010728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45671817--2.45667023) × cos(1.36254778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206746605607103 × 6371000     		do = 63.1457350099962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45671817--2.45667023) × cos(1.36253787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206756301486666 × 6371000     		du = 63.1486963811867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36254778)-sin(1.36253787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206746605607103-0.206756301486666)×R²
    abs(-2.45667023--2.45671817)×9.69587956289875e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.69587956289875e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.69587956289875e-06×40589641000000     		ar = 3986.90113004619m²