Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14287 / 11213
↖ ↑ ↗
← N 49.289306°
W 23.038330°		 ← 796.76 m → N 49.289306°
W 23.027344°		 →
↑
796.82 m
↓
↑
796.82 m
↓
N 49.282140°
W 23.038330°		 ← 796.88 m →
634 921 m²		 N 49.282140°
W 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436019897460938 y=0.342208862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436019897460938 × 215)
    floor (0.436019897460938 × 32768)
    floor (14287.5)     		tx = 14287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342208862304688 × 215)
    floor (0.342208862304688 × 32768)
    floor (11213.5)     		ty = 11213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14287 / 11213 ti = "15/14287/11213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14287/11213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14287 ÷ 215
    14287 ÷ 32768     		x = 0.436004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11213 ÷ 215
    11213 ÷ 32768     		y = 0.342193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.12799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40209471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342193603515625 × 2 - 1) × π
    0.31561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.991526831741241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40209471} λ = -0.40209471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991526831741241))-π/2
    2×atan(2.6953466730852)-π/2
    2×1.21552850475753-π/2
    2.43105700951506-1.57079632675     		φ = 0.86026068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40209471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.038330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86026068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.289306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14287 KachelY 11213 -0.40209471 0.86026068 -23.038330 49.289306
    Oben rechts KachelX + 1 14288 KachelY 11213 -0.40190297 0.86026068 -23.027344 49.289306
    Unten links KachelX 14287 KachelY + 1 11214 -0.40209471 0.86013561 -23.038330 49.282140
    Unten rechts KachelX + 1 14288 KachelY + 1 11214 -0.40190297 0.86013561 -23.027344 49.282140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86026068-0.86013561) × R
    0.000125069999999949 × 6371000     		dl = 796.820969999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86026068-0.86013561) × R
    0.000125069999999949 × 6371000     		dr = 796.820969999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40209471--0.40190297) × cos(0.86026068) × R
    0.000191739999999996 × 0.652239891599106 × 6371000     		do = 796.760297789702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40209471--0.40190297) × cos(0.86013561) × R
    0.000191739999999996 × 0.652334691135227 × 6371000     		du = 796.87610258423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86026068)-sin(0.86013561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652239891599106-0.652334691135227)×R²
    abs(-0.40190297--0.40209471)×9.47995361209042e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47995361209042e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47995361209042e-05×40589641000000     		ar = 634921.452014177m²