Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14286 / 20287
↖ ↑ ↗
← S 39.359786°
W 23.049316°		 ← 944.55 m → S 39.359786°
W 23.038330°		 →
↑
944.44 m
↓
↑
944.44 m
↓
S 39.368279°
W 23.049316°		 ← 944.43 m →
892 010 m²		 S 39.368279°
W 23.038330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435989379882812 y=0.619125366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435989379882812 × 215)
    floor (0.435989379882812 × 32768)
    floor (14286.5)     		tx = 14286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619125366210938 × 215)
    floor (0.619125366210938 × 32768)
    floor (20287.5)     		ty = 20287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14286 / 20287 ti = "15/14286/20287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14286/20287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14286 ÷ 215
    14286 ÷ 32768     		x = 0.43597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20287 ÷ 215
    20287 ÷ 32768     		y = 0.619110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.23822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.748390876868317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40228646} λ = -0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748390876868317))-π/2
    2×atan(0.473127260559797)-π/2
    2×0.441919240497417-π/2
    0.883838480994834-1.57079632675     		φ = -0.68695785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68695785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.359786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14286 KachelY 20287 -0.40228646 -0.68695785 -23.049316 -39.359786
    Oben rechts KachelX + 1 14287 KachelY 20287 -0.40209471 -0.68695785 -23.038330 -39.359786
    Unten links KachelX 14286 KachelY + 1 20288 -0.40228646 -0.68710609 -23.049316 -39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 14287 KachelY + 1 20288 -0.40209471 -0.68710609 -23.038330 -39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68695785--0.68710609) × R
    0.000148240000000022 × 6371000     		dl = 944.437040000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68695785--0.68710609) × R
    0.000148240000000022 × 6371000     		dr = 944.437040000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40228646--0.40209471) × cos(-0.68695785) × R
    0.000191749999999991 × 0.773178884785668 × 6371000     		do = 944.545672925353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40228646--0.40209471) × cos(-0.68710609) × R
    0.000191749999999991 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 944.430813763818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68695785)-sin(-0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773178884785668-0.773084864262395)×R²
    abs(-0.40209471--0.40228646)×9.40205232723423e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40205232723423e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40205232723423e-05×40589641000000     		ar = 892009.682493236m²