Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14286 / 18418
↖ ↑ ↗
← N 78.069941°
W140.762329°		 ← 63.14 m → N 78.069941°
W140.759583°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.069373°
W140.762329°		 ← 63.14 m →
3 986 m²		 N 78.069373°
W140.759583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108997344970703 y=0.140522003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108997344970703 × 217)
    floor (0.108997344970703 × 131072)
    floor (14286.5)     		tx = 14286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140522003173828 × 217)
    floor (0.140522003173828 × 131072)
    floor (18418.5)     		ty = 18418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14286 / 18418 ti = "17/14286/18418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14286/18418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14286 ÷ 217
    14286 ÷ 131072     		x = 0.108993530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18418 ÷ 217
    18418 ÷ 131072     		y = 0.140518188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108993530273438 × 2 - 1) × π
    -0.782012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45676611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140518188476562 × 2 - 1) × π
    0.718963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25869083629781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45676611} λ = -2.45676611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25869083629781))-π/2
    2×atan(9.57055154296405)-π/2
    2×1.46668691792938-π/2
    2.93337383585877-1.57079632675     		φ = 1.36257751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45676611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.762329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36257751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.069941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14286 KachelY 18418 -2.45676611 1.36257751 -140.762329 78.069941
    Oben rechts KachelX + 1 14287 KachelY 18418 -2.45671817 1.36257751 -140.759583 78.069941
    Unten links KachelX 14286 KachelY + 1 18419 -2.45676611 1.36256760 -140.762329 78.069373
    Unten rechts KachelX + 1 14287 KachelY + 1 18419 -2.45671817 1.36256760 -140.759583 78.069373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36257751-1.36256760) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dl = 63.1366099996582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36257751-1.36256760) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dr = 63.1366099996582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45676611--2.45671817) × cos(1.36257751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206717517846594 × 6371000     		do = 63.1368508592177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45676611--2.45671817) × cos(1.36256760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206727213787066 × 6371000     		du = 63.1398122490115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36257751)-sin(1.36256760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206717517846594-0.206727213787066)×R²
    abs(-2.45671817--2.45676611)×9.69594047239841e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.69594047239841e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.69594047239841e-06×40589641000000     		ar = 3986.34021544821m²