Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14285 / 7630
↖ ↑ ↗
← N 68.855593°
W 23.060303°		 ← 440.67 m → N 68.855593°
W 23.049316°		 →
↑
440.75 m
↓
↑
440.75 m
↓
N 68.851629°
W 23.060303°		 ← 440.75 m →
194 241 m²		 N 68.851629°
W 23.049316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435958862304688 y=0.232864379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435958862304688 × 215)
    floor (0.435958862304688 × 32768)
    floor (14285.5)     		tx = 14285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232864379882812 × 215)
    floor (0.232864379882812 × 32768)
    floor (7630.5)     		ty = 7630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14285 / 7630 ti = "15/14285/7630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14285/7630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14285 ÷ 215
    14285 ÷ 32768     		x = 0.435943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7630 ÷ 215
    7630 ÷ 32768     		y = 0.23284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435943603515625 × 2 - 1) × π
    -0.12811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40247821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23284912109375 × 2 - 1) × π
    0.5343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67855847709589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40247821} λ = -0.40247821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67855847709589))-π/2
    2×atan(5.35782697139976)-π/2
    2×1.38627656170356-π/2
    2.77255312340713-1.57079632675     		φ = 1.20175680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40247821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20175680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.855593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14285 KachelY 7630 -0.40247821 1.20175680 -23.060303 68.855593
    Oben rechts KachelX + 1 14286 KachelY 7630 -0.40228646 1.20175680 -23.049316 68.855593
    Unten links KachelX 14285 KachelY + 1 7631 -0.40247821 1.20168762 -23.060303 68.851629
    Unten rechts KachelX + 1 14286 KachelY + 1 7631 -0.40228646 1.20168762 -23.049316 68.851629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20175680-1.20168762) × R
    6.9180000000113e-05 × 6371000     		dl = 440.74578000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20175680-1.20168762) × R
    6.9180000000113e-05 × 6371000     		dr = 440.74578000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40247821--0.40228646) × cos(1.20175680) × R
    0.000191749999999991 × 0.360719789872111 × 6371000     		do = 440.669453559501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40247821--0.40228646) × cos(1.20168762) × R
    0.000191749999999991 × 0.360784311412626 × 6371000     		du = 440.748275605865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20175680)-sin(1.20168762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360719789872111-0.360784311412626)×R²
    abs(-0.40228646--0.40247821)×6.45215405156718e-05×R²
    0.000191749999999991×6.45215405156718e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.45215405156718e-05×40589641000000     		ar = 194240.572351119m²