Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14285 / 2211
↖ ↑ ↗
← N 78.477391°
E133.879395°		 ← 488.04 m → N 78.477391°
E133.901367°		 →
↑
488.15 m
↓
↑
488.15 m
↓
N 78.473001°
E133.879395°		 ← 488.23 m →
238 281 m²		 N 78.473001°
E133.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871917724609375 y=0.134979248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871917724609375 × 214)
    floor (0.871917724609375 × 16384)
    floor (14285.5)     		tx = 14285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134979248046875 × 214)
    floor (0.134979248046875 × 16384)
    floor (2211.5)     		ty = 2211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14285 / 2211 ti = "14/14285/2211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14285/2211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14285 ÷ 214
    14285 ÷ 16384     		x = 0.87188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2211 ÷ 214
    2211 ÷ 16384     		y = 0.13494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87188720703125 × 2 - 1) × π
    0.7437744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33663624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13494873046875 × 2 - 1) × π
    0.7301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29368477302045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33663624} λ = 2.33663624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29368477302045))-π/2
    2×atan(9.9113917062771)-π/2
    2×1.4702425998487-π/2
    2.9404851996974-1.57079632675     		φ = 1.36968887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33663624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.879395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36968887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.477391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14285 KachelY 2211 2.33663624 1.36968887 133.879395 78.477391
    Oben rechts KachelX + 1 14286 KachelY 2211 2.33701973 1.36968887 133.901367 78.477391
    Unten links KachelX 14285 KachelY + 1 2212 2.33663624 1.36961225 133.879395 78.473001
    Unten rechts KachelX + 1 14286 KachelY + 1 2212 2.33701973 1.36961225 133.901367 78.473001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36968887-1.36961225) × R
    7.66199999999717e-05 × 6371000     		dl = 488.14601999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36968887-1.36961225) × R
    7.66199999999717e-05 × 6371000     		dr = 488.14601999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33663624-2.33701973) × cos(1.36968887) × R
    0.000383490000000375 × 0.199754590134243 × 6371000     		do = 488.043368986849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33663624-2.33701973) × cos(1.36961225) × R
    0.000383490000000375 × 0.19982966534522 × 6371000     		du = 488.22679385267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36968887)-sin(1.36961225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199754590134243-0.19982966534522)×R²
    abs(2.33701973-2.33663624)×7.50752109767716e-05×R²
    0.000383490000000375×7.50752109767716e-05×6371000²
    0.000383490000000375×7.50752109767716e-05×40589641000000     		ar = 238281.197333835m²