Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14284 / 10572
↖ ↑ ↗
← N 53.670680°
W 23.071289°		 ← 723.73 m → N 53.670680°
W 23.060303°		 →
↑
723.75 m
↓
↑
723.75 m
↓
N 53.664171°
W 23.071289°		 ← 723.84 m →
523 837 m²		 N 53.664171°
W 23.060303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435928344726562 y=0.322647094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435928344726562 × 215)
    floor (0.435928344726562 × 32768)
    floor (14284.5)     		tx = 14284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322647094726562 × 215)
    floor (0.322647094726562 × 32768)
    floor (10572.5)     		ty = 10572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14284 / 10572 ti = "15/14284/10572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14284/10572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14284 ÷ 215
    14284 ÷ 32768     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10572 ÷ 215
    10572 ÷ 32768     		y = 0.3226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3226318359375 × 2 - 1) × π
    0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11443704236707))-π/2
    2×atan(3.04785188464494)-π/2
    2×1.25376320396852-π/2
    2.50752640793703-1.57079632675     		φ = 0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14284 KachelY 10572 -0.40266996 0.93673008 -23.071289 53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 14285 KachelY 10572 -0.40247821 0.93673008 -23.060303 53.670680
    Unten links KachelX 14284 KachelY + 1 10573 -0.40266996 0.93661648 -23.071289 53.664171
    Unten rechts KachelX + 1 14285 KachelY + 1 10573 -0.40247821 0.93661648 -23.060303 53.664171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93673008-0.93661648) × R
    0.000113600000000047 × 6371000     		dl = 723.745600000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93673008-0.93661648) × R
    0.000113600000000047 × 6371000     		dr = 723.745600000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40247821) × cos(0.93673008) × R
    0.000191749999999991 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 723.730264994217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40247821) × cos(0.93661648) × R
    0.000191749999999991 × 0.59251703279684 × 6371000     		du = 723.842063558121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93673008)-sin(0.93661648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.59251703279684)×R²
    abs(-0.40247821--0.40266996)×9.15152029571376e-05×R²
    0.000191749999999991×9.15152029571376e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.15152029571376e-05×40589641000000     		ar = 523837.052299417m²